Какова длина биссектрисы AD угла BAC в треугольнике ABC с вершинами A(4,1), B(7,5) и C(-4,7) в декартовой системе

Геометрия: Длина биссектрисы угла в треугольнике

Описание:
Для решения данной задачи нам понадобится знание о биссектрисе угла и формуле для вычисления расстояния между двумя точками в декартовой системе координат.

Найдем сначала длины сторон треугольника ABC, используя формулу расстояния между двумя точками. Применим эту формулу для пар точек AB, BC и AC и найдем длины сторон a, b и c соответственно.

Для нахождения длины биссектрисы угла, воспользуемся формулой:

\[AD = \frac{{2 \cdot \sqrt{bca(a+b+c)}}}{{b+c}}\]

где a, b и c - длины сторон треугольника, а BC - длина стороны, противолежащей углу, биссектриса которого нас интересует.

Пример использования:

Дан треугольник ABC с вершинами в A(4,1), B(7,5) и C(-4,7). Найдем длину биссектрисы AD угла BAC.

Решение:
1. Найдем длину каждой стороны треугольника ABC:

- Строна AB: \(\sqrt{(7-4)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
- Сторона BC: \(\sqrt{(-4-7)^2 + (7-5)^2} = \sqrt{121 + 4} = \sqrt{125} = 5\)
- Сторона AC: \(\sqrt{(4+4)^2 + (1-7)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\)

2. Теперь воспользуемся формулой для вычисления длины биссектрисы:

\[AD = \frac{{2 \cdot \sqrt{5 \cdot 5 \cdot 10(5 + 5 + 10)}}}{{5 + 10}}\]
\[AD = \frac{{2 \cdot \sqrt{2500}}}{{15}} = \frac{{2 \cdot 50}}{{15}} = \frac{{100}}{{15}}\]

Ответ: Пошагово вычислив, получим, что длина биссектрисы AD угла BAC равна примерно 6,67 единицам (округлено до сотых).