Каков угол между векторами (MN) ⃗ и (KP) ⃗, если координаты точек M(3;-2;4), N(4;-1;2), K(6;-3;2), P(7;-3;1)?

Название: Угол между векторами

Разъяснение: Для определения угла между заданными векторами (MN) ⃗ и (KP) ⃗, нам необходимо использовать формулу скалярного произведения векторов и формулу для вычисления модуля вектора.

Шаг 1: Найдем векторы (MN) ⃗ и (KP) ⃗. Для этого вычислим разност между координатами соответствующих точек M и N, а также K и P:
(MN) ⃗ = N - M = (4 - 3; -1 - (-2); 2 - 4) = (1; 1; -2)
(KP) ⃗ = P - K = (7 - 6; -3 - (-3); 1 - 2) = (1; 0; -1)

Шаг 2: Вычислим скалярное произведение векторов (MN) ⃗ и (KP) ⃗ с помощью соответствующих координат и суммирования произведений:
(MN) ⃗ · (KP) ⃗ = 1 * 1 + 1 * 0 + (-2) * (-1) = 1 + 0 + 2 = 3

Шаг 3: Вычислим модуль каждого вектора с помощью формулы:
|MN| = √(1^2 + 1^2 + (-2)^2) = √(1 + 1 + 4) = √6
|KP| = √(1^2 + 0^2 + (-1)^2) = √(1 + 0 + 1) = √2

Шаг 4: Используем формулу для вычисления угла между двумя векторами:
cos(θ) = (MN) ⃗ · (KP) ⃗ / (|MN| * |KP|)
cos(θ) = 3 / (√6 * √2) = 3 / (√12) = 3 / (2√3) = (3√3) / 6 = √3 / 2

Шаг 5: Найдем угол θ, используя обратную функцию косинуса (арккосинус):
θ = arccos(√3 / 2)

Итак, угол между векторами (MN) ⃗ и (KP) ⃗ составляет θ = arccos(√3 / 2).

Доп. материал: Посчитайте угол между векторами (MN) ⃗ и (KP) ⃗, если координаты точек M(3;-2;4), N(4;-1;2), K(6;-3;2), P(7;-3;1).

Совет: Для лучшего понимания данной темы, рекомендуется повторить материал о векторах, скалярном произведении и модуле вектора.

Задание: Найдите угол между векторами (AB) ⃗ и (CD) ⃗, если координаты точек A(1, 2, 3), B(-1, 4, -2), C(5, -3, 2), D(2, 0, -1).