Каков угол между прямой и плоскостью? В 10 классе. Каков угол между линией b1f и плоскостью abc? Каков угол между

Тема: Угол между прямой и плоскостью

Разъяснение: Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между направляющим вектором прямой и нормалью плоскости. Нормалью плоскости является перпендикуляр, проведенный из точки на плоскости к прямой, параллельной плоскости. Построение угла между прямой и плоскостью включает следующие шаги:

1. Найти направляющий вектор прямой, указывающий направление прямой. Если даны две точки на прямой - точка A и точка B, то направляющий вектор можно найти как разность координат точек: AB = B - A.

2. Найти нормаль плоскости. Если даны три точки на плоскости - точка P, точка Q и точка R, то нормаль плоскости можно найти как векторное произведение двух векторов, лежащих на плоскости: N = PQ × PR.

3. Вычислить значение косинуса угла между направляющим вектором прямой и нормалью плоскости с помощью скалярного произведения: cos(угол) = (AB · N) / (|AB| * |N|).

4. Найти значение угла с помощью арккосинуса: угол = arccos(cos(угол)).

Например:

Задание: Каков угол между прямой, заданной точками A(2, 3, 4) и B(5, 7, 1), и плоскостью с уравнением 2x - 3y + 4z = 5?

Шаги решения:
1. Направляющий вектор AB = B - A = (5, 7, 1) - (2, 3, 4) = (3, 4, -3).
2. Нормаль плоскости можно прочитать из коэффициентов уравнения плоскости: N = (2, -3, 4).
3. Скалярное произведение AB и N: AB · N = 3 * 2 + 4 * (-3) + (-3) * 4 = 6 - 12 - 12 = -18.
4. Вычисление длин векторов AB и N: |AB| = √(3^2 + 4^2 + (-3)^2) = √(9 + 16 + 9) = √34, |N| = √(2^2 + (-3)^2 + 4^2) = √(4 + 9 + 16) = √29.
5. Вычисление значения cos(угол): cos(угол) = (-18) / (√34 * √29) ≈ -0.531.
6. Нахождение значения угла: угол ≈ arccos(-0.531) ≈ 126.49°.

Совет: Для лучшего понимания темы, рекомендуется ознакомиться с понятиями векторов, скалярного произведения и векторного произведения.

Задание для закрепления:
Задана плоскость с уравнением 3x + 2y - z = 4 и прямая с направляющим вектором (-1, 5, 2). Найдите угол между прямой и плоскостью.