Разъяснение: Угол между двумя плоскостями α и β определяется как угол между их нормальными векторами. Нормальный вектор плоскости определяется как вектор, перпендикулярный к плоскости и указывающий в направлении, определяющем сторону плоскости.
Одним из методов нахождения угла между плоскостями является использование скалярного произведения нормальных векторов плоскостей. Если n₁ и n₂ - нормальные векторы плоскостей α и β соответственно, то косинус угла между плоскостями вычисляется по формуле: cos(α) = (n₁ · n₂) / (|n₁| · |n₂|), где (·) обозначает скалярное произведение, а |n₁| и |n₂| - длины нормальных векторов.
Применяя обратный косинус (арккосинус) функции к найденному значению cos(α), получим значение угла α между плоскостями.
Пример: Найдем угол между плоскостями α: 2x - 3y + z = 5 и β: x + 2y - z = 4.
Для плоскости α нормальный вектор равен n₁ = (2, -3, 1), а для плоскости β - n₂ = (1, 2, -1).
Подставляя значения в формулу, получаем: cos(α) = -3 / (sqrt(14) * sqrt(6)).
Вычисляя это значение, получаем (с округлением): cos(α) ≈ -0.438.
Найдем угол α с помощью арккосинуса: α ≈ arccos(-0.438) ≈ 118.27 градусов.
Таким образом, угол между плоскостями α и β составляет примерно 118.27 градусов.
Совет: Чтобы лучше понять концепцию угла между плоскостями, можно представить две плоскости в трехмерном пространстве и визуализировать их. Можно также рассмотреть простые примеры, где нормальные векторы плоскостей могут быть найдены аналитически и вычислен угол между ними.
Практика: Найдите угол между плоскостями α: 3x - 2y + z = 6 и β: -2x + y - 3z = -4.
Расскажи ответ другу:
Izumrudnyy_Drakon
18
Показать ответ
Угол между плоскостями α и β можно найти с помощью формулы, которая основывается на нормальных векторах каждой плоскости. Нормальный вектор - это вектор, перпендикулярный плоскости и указывающий в направлении от нее.
Для начала необходимо найти нормальные векторы плоскостей α и β. Пусть у плоскости α координаты нормального вектора равны (a₁, b₁, c₁), а у плоскости β - (a₂, b₂, c₂).
Затем применяем формулу cosθ = (a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂) / (sqrt(a₁² + b₁² + c₁²) * sqrt(a₂² + b₂² + c₂²)), где θ - искомый угол между плоскостями α и β.
Далее, если вычисленный cosθ меньше нуля, угол между плоскостями составляет π - θ радиан (или 180° - θ градусов), иначе - θ радиан (или θ градусов).
Пример использования: Для плоскости α с нормальным вектором (2, 3, 1) и плоскости β с нормальным вектором (1, -2, 5) необходимо найти угол между ними.
Совет: Помните, что нормальные векторы плоскостей можно найти, используя коэффициенты при переменных в уравнении плоскости.
Проверочное упражнение: Для плоскости α с уравнением 2x - 3y + z = 5 и плоскости β с уравнением x + 3y - 2z = 7 найдите угол между ними.
Все ответы даются под вымышленными псевдонимами! Здесь вы встретите мудрых наставников, скрывающихся за загадочными никами, чтобы фокус был на знаниях, а не на лицах. Давайте вместе раскроем тайны обучения и поищем ответы на ваши школьные загадки.
Разъяснение: Угол между двумя плоскостями α и β определяется как угол между их нормальными векторами. Нормальный вектор плоскости определяется как вектор, перпендикулярный к плоскости и указывающий в направлении, определяющем сторону плоскости.
Одним из методов нахождения угла между плоскостями является использование скалярного произведения нормальных векторов плоскостей. Если n₁ и n₂ - нормальные векторы плоскостей α и β соответственно, то косинус угла между плоскостями вычисляется по формуле: cos(α) = (n₁ · n₂) / (|n₁| · |n₂|), где (·) обозначает скалярное произведение, а |n₁| и |n₂| - длины нормальных векторов.
Применяя обратный косинус (арккосинус) функции к найденному значению cos(α), получим значение угла α между плоскостями.
Пример: Найдем угол между плоскостями α: 2x - 3y + z = 5 и β: x + 2y - z = 4.
Для плоскости α нормальный вектор равен n₁ = (2, -3, 1), а для плоскости β - n₂ = (1, 2, -1).
Вычислим скалярное произведение нормальных векторов: n₁ · n₂ = 2*1 + (-3)*2 + 1*(-1) = -3.
Теперь найдем длины нормальных векторов: |n₁| = sqrt(2² + (-3)² + 1²) = sqrt(14), |n₂| = sqrt(1² + 2² + (-1)²) = sqrt(6).
Подставляя значения в формулу, получаем: cos(α) = -3 / (sqrt(14) * sqrt(6)).
Вычисляя это значение, получаем (с округлением): cos(α) ≈ -0.438.
Найдем угол α с помощью арккосинуса: α ≈ arccos(-0.438) ≈ 118.27 градусов.
Таким образом, угол между плоскостями α и β составляет примерно 118.27 градусов.
Совет: Чтобы лучше понять концепцию угла между плоскостями, можно представить две плоскости в трехмерном пространстве и визуализировать их. Можно также рассмотреть простые примеры, где нормальные векторы плоскостей могут быть найдены аналитически и вычислен угол между ними.
Практика: Найдите угол между плоскостями α: 3x - 2y + z = 6 и β: -2x + y - 3z = -4.
Для начала необходимо найти нормальные векторы плоскостей α и β. Пусть у плоскости α координаты нормального вектора равны (a₁, b₁, c₁), а у плоскости β - (a₂, b₂, c₂).
Затем применяем формулу cosθ = (a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂) / (sqrt(a₁² + b₁² + c₁²) * sqrt(a₂² + b₂² + c₂²)), где θ - искомый угол между плоскостями α и β.
Далее, если вычисленный cosθ меньше нуля, угол между плоскостями составляет π - θ радиан (или 180° - θ градусов), иначе - θ радиан (или θ градусов).
Пример использования: Для плоскости α с нормальным вектором (2, 3, 1) и плоскости β с нормальным вектором (1, -2, 5) необходимо найти угол между ними.
Совет: Помните, что нормальные векторы плоскостей можно найти, используя коэффициенты при переменных в уравнении плоскости.
Проверочное упражнение: Для плоскости α с уравнением 2x - 3y + z = 5 и плоскости β с уравнением x + 3y - 2z = 7 найдите угол между ними.