Каков угол между отрезками AB и CD, если координаты точек A (6;-8;-2), B(5;-8;-1), C(7;-7;-9), D(7, -5;-11)?

Тема занятия: Угол между отрезками в трехмерном пространстве

Пояснение: Чтобы вычислить угол между отрезками AB и CD в трехмерном пространстве, мы можем воспользоваться формулой косинуса. Сначала нам понадобится найти векторы AB и CD, а затем вычислить их скалярное произведение и длины.

Для начала найдем векторы AB и CD. Вектор AB можно получить, вычислив разности координат точек B и A: AB = (5 - 6, -8 - (-8), -1 - (-2)) = (-1, 0, 1). Аналогичным образом находим вектор CD: CD = (7 - 7, -5 - (-7), -11 - (-9)) = (0, 2, -2).

Затем найдем скалярное произведение векторов AB и CD: AB·CD = -1 * 0 + 0 * 2 + 1 * (-2) = 0 - 0 - 2 = -2.

Теперь найдем длины векторов AB и CD: |AB| = √((-1)^2 + 0^2 + 1^2) = √(1 + 0 + 1) = √2, |CD| = √(0^2 + 2^2 + (-2)^2) = √(0 + 4 + 4) = √8 = 2√2.

Наконец, применяем формулу косинуса для вычисления угла: cos θ = (AB·CD) / (|AB| * |CD|) = -2 / (√2 * 2√2) = -2 / (2 * 2) = -1/2.

Чтобы найти угол θ, возьмем обратный косинус (-1/2): θ = arccos (-1/2) ≈ 120°.

Таким образом, угол между отрезками AB и CD составляет около 120°.

Совет: Запомните формулу косинуса для нахождения угла между векторами: cos θ = (AB·CD) / (|AB| * |CD|). Также стоит отметить, что при расчетах длин и координат векторов вам может понадобиться использовать решение уравнений и извлечение квадратного корня.

Дополнительное задание: Найдите угол между отрезками EF и GH, если E(3, -2, 1), F(-1, 4, 5), G(-2, -1, 2) и H(6, 3, 5).