Каков радиус шара, если угол между образующей конуса и его высотой составляет 45 градусов, а расстояние от вершины

Тема урока: Радиус шара внутри конуса

Инструкция:
Для решения данной задачи, нам понадобится использовать связь между радиусами шара и конуса, а также теорему синусов.

Первым шагом, давайте обозначим радиус шара как `r` и радиус конуса `R`, а также длину образующей конуса `l` и высоту конуса `h`.
Мы знаем, что вписанный в конус шар касается его боковой поверхности.

Согласно теореме синусов, у нас есть соотношение:
`sin(45°) = r / (R - r)`

Мы также знаем, что коэффициент радиуса шара должен быть в пределах от 0 до 1, иначе шар будет пересекаться с конусом.

Теперь решим уравнение относительно `r`:
`sin(45°) = r / (R - r)`

Раскроем синус 45°:
`√2/2 = r / (R - r)`

Перемножим оба выражения:
`√2 * (R - r) = 2r`

Раскроем скобки:
`√2 * R - √2 * r = 2r`

Перенесем `r` налево и `√2 * R` на право:
`√2 * R = (2 + √2) * r`

И, наконец, найдем `r`:
`r = √( (√2 * R) / (2 + √2) )`

Таким образом, радиус шара `r` равен корню квадратному из отношения значений √2 * R и 2 + √2.

Например:
Дано: R = 10 см
Найдем радиус вписанного шара:
r = √( (√2 * 10) / (2 + √2) ) ≈ 3.298 см

Совет:
При решении таких задач, важно помнить о связи радиусов шара и конуса, а также применять теорему синусов для нахождения соотношений между искомыми величинами. Старайтесь всегда быть внимательными к значениям углов и используйте правильные формулы для расчетов.

Задание для закрепления:
В конусе с радиусом основания 5 см и высотой 12 см вписан шар. Найдите радиус шара.