Каков радиус сферы, касающейся всех сторон треугольника ABC, если расстояние от центра сферы до плоскости (ABC

Суть вопроса: Радиус сферы, касающейся всех сторон треугольника ABC

Пояснение:
Для решения данной задачи мы можем воспользоваться формулой для площади треугольника по формуле Герона и формулой для площади треугольника через радиус вписанной окружности.

Если символом R обозначить радиус сферы, описанной вокруг треугольника ABC, то расстояние h от центра сферы до плоскости (ABC) будет равно R. Таким образом, имеем R = h = \frac{\sqrt{3} }{2} см.

Для решения задачи нам нужно найти радиус сферы R. Мы можем воспользоваться формулой для площади треугольника по формуле Герона и формулой s = pr, где s - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника, и r - радиус вписанной окружности в треугольник ABC.

Площадь треугольника ABC по формуле Герона:

s = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

где p = \frac{(a + b + c)}{2} - полупериметр треугольника ABC, a, b, c - длины сторон треугольника.

Определение радиуса вписанной окружности в треугольник ABC:

r = \frac{s}{p}

Теперь мы можем решать задачу пошагово:

Шаг 1: Найдем полупериметр треугольника ABC:

p = \frac{(AB + BC + AC)}{2} = \frac{(3 + 5 + 7)}{2} = 7.5 см

Шаг 2: Найдем площадь треугольника ABC:

s = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{7.5(7.5-3)(7.5-5)(7.5-7)} = \sqrt{7.5 \cdot 4.5 \cdot 2.5 \cdot 0.5} = \sqrt{42.1875} \approx 6.5 см^2

Шаг 3: Найдем радиус вписанной окружности:

r = \frac{s}{p} = \frac{6.5}{7.5} \approx 0.867 см

Таким образом, радиус сферы, касающейся всех сторон треугольника ABC, составляет примерно 0.867 см.

Совет: Чтобы лучше понять эту тему, рекомендуется повторить формулу для площади треугольника по формуле Герона и формулу s = pr для площади треугольника через радиус вписанной окружности. Также рекомендуется изучить сферическую геометрию и связанные с ней понятия и формулы.

Проверочное упражнение: Найдите радиус сферы, описанной вокруг треугольника со сторонами 4 см, 5 см и 6 см.

Тема вопроса: Радиус сферы, касающейся всех сторон треугольника

Объяснение:
Чтобы найти радиус сферы, касающейся всех сторон треугольника ABC, мы можем использовать формулу для радиуса вписанной сферы. В данной задаче нам дано расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, а также длины его сторон.

Формула для радиуса вписанной сферы выглядит следующим образом:
\[ R = \frac{{S}}{{p}}, \]
где R - радиус сферы, касающейся всех сторон треугольника, а p - полупериметр треугольника.

Полупериметр треугольника можно найти с помощью формулы Герона:
\[ p = \frac{{a + b + c}}{2}, \]
где a, b, c - длины сторон треугольника.

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника с помощью формулы Герона и полупериметра, а затем подставить полученное значение в формулу для радиуса сферы.

Например:
Дан треугольник ABC с длинами сторон AB = 3 см, BC = 5 см и AC = 7 см. Расстояние от центра сферы до плоскости (ABC) составляет $\frac{\sqrt{3}}{2}$ см. Найдите радиус сферы, касающейся всех сторон треугольника.

Совет:
Чтобы упростить расчеты, вначале найдите полупериметр треугольника, а затем вычислите площадь треугольника с помощью формулы Герона. После этого подставьте полученные значения в формулу для радиуса вписанной сферы.

Практика:
Дан треугольник XYZ с длинами сторон XY = 6 см, YZ = 8 см и ZX = 10 см. Расстояние от центра сферы до плоскости (XYZ) составляет 4 см. Найдите радиус сферы, касающейся всех сторон треугольника.