Каков радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник ABC с основанием AC и углом BAC, равным 75°?

Тема: Как найти радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник

Объяснение: Чтобы найти радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник ABC, нам понадобятся некоторые свойства равнобедренных треугольников и формулы для нахождения радиуса вписанной окружности.

1. Первое свойство: В равнобедренном треугольнике биссектрисы углов, исходящие из вершин основания, являются высотами и медианами.

2. Второе свойство: Радиус окружности, вписанной в треугольник, является перпендикуляром к стороне треугольника, и касается данной стороны в её средней точке.

3. Третье свойство: В равнобедренном треугольнике биссектриса основания делит его на два прямоугольных треугольника.

4. Формула для нахождения радиуса: R = (a * sin(B/2)) / sin(90 - B/2), где R - радиус окружности, a - длина основания, B - угол при вершине треугольника.

Теперь, используя эти свойства и формулы, мы можем решить задачу.

Доп. материал: В нашей задаче угол BAC равен 75°, а треугольник ABC - равнобедренный. Пусть длина основания AC равна a.

1. Угол BAC равен углу ACB (так как треугольник равнобедренный), поэтому угол ACB также равен 75°.

2. Делаем разбиение треугольника ABC на два прямоугольных треугольника путем проведения биссектрисы угла ACB.

3. Получившиеся два прямоугольных треугольника имеют углы 75°, 45° и 60° (по свойству разделения равнобедренного треугольника биссектрисой).

4. Применяем формулу для нахождения радиуса: R = (a * sin(45°)) / sin(30°) = (a * √2) / (1/2) = 2√2a.

Таким образом, радиус окружности, вписанной в данный равнобедренный треугольник, равен 2√2a.

Совет: Чтобы лучше понять это свойство и формулу, можно нарисовать равнобедренный треугольник ABC и провести необходимые построения для поиска радиуса вписанной окружности. Также стоит обратить внимание на соотношение сторон и углов в равнобедренных треугольниках.

Закрепляющее упражнение: В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC и углом BAC, равным 60°, длина основания AC равна 10 см. Найдите радиус окружности, вписанной в данный треугольник.