Каков радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с гипотенузой равной 13 см, если длина биссектрисы

Треугольник:
По условию, у нас есть прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза равна 13 см. Пусть этот треугольник имеет вершины A, B и C, где C - прямой угол.

Окружность:
Также, в данном треугольнике вписана окружность, то есть существует окружность, которая касается всех сторон треугольника. Пусть радиус этой окружности будет r.

Биссектриса:
Биссектриса из вершины прямого угла является радиусом окружности. По условию, длина биссектрисы из вершины прямого угла составляет 60√2/17 см.

Условие вписанности окружности:
Для того чтобы окружность была вписана в треугольник, длины отрезков, соединяющих вершины треугольника с точками касания окружности, должны быть равны.

Обоснование построения:
Для решения задачи мы можем построить прямую, параллельную одной из катетов прямоугольного треугольника, и провести биссектрисы из вершины прямого угла до точек касания окружности с этой прямой.

Решение:
Пусть точка касания окружности с стороной треугольника равна D. Пользуясь свойством вписанных треугольников, мы можем заметить, что образовавшийся треугольник CAD - прямоугольный, так как основание CD является радиусом окружности, а угол CAD - половина прямого угла треугольника ABC.

Мы можем найти отношение длин окружности и самой биссектрисы в этом прямоугольном треугольнике:
sin(CAD) = CD / CA,
где sin(CAD) равно 60√2/17 см (длина биссектрисы), CD - радиус окружности, а CA - гипотенуза треугольника.

Подставим известные значения и решим уравнение:
sin(CAD) = CD / CA,
60√2/17 = r / 13.

Решив это уравнение, найдем значение радиуса окружности:
r = 13 * (60√2/17).

Ответ:
Таким образом, радиус окружности, вписанной в данный прямоугольный треугольник, составляет 60√2/17 см.