Каков радиус окружности, вписанной в данный равнобедренный треугольник? И каков радиус описанной окружности

Содержание: Радиус вписанной и описанной окружности

Инструкция:

Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник может быть рассчитан с использованием формулы для площади треугольника и полупериметра треугольника. Для равнобедренного треугольника со сторонами a, a и b, площадь S равна полупроизведению стороны b на высоту треугольника h:

S = 0.5 * b * h

С другой стороны, площадь треугольника может быть рассчитана с использованием формулы Герона, которая зависит от полупериметра треугольника (s) и длин его сторон (a, a и b):

S = sqrt(s * (s-a) * (s-a) * (s-b))

Сравнивая два выражения для площади треугольника, мы можем найти высоту треугольника h:

0.5 * b * h = sqrt(s * (s-a) * (s-a) * (s-b))

h = (2 * sqrt(s * (s-a) * (s-a) * (s-b))) / b

Радиус вписанной окружности r равен отношению площади треугольника S к его полупериметру s:

r = S / s

Для равнобедренного треугольника эту формулу можно упростить:

r = (sqrt(s * (s-a) * (s-a) * (s-b))) / s

Радиус описанной окружности R равен полупроизведению длин сторон треугольника, деленному на удвоенную площадь треугольника:

R = (a * a * b) / (4 * S)

Пример:
Задача 1:
Дан равнобедренный треугольник со стороной a = 6 см и основанием b = 8 см. Найдите радиус вписанной и описанной окружности.
Решение:
Вычислим полупериметр треугольника:
s = (a + a + b) / 2 = (6 + 6 + 8) / 2 = 20 / 2 = 10 см

Вычислим радиус вписанной окружности:
r = (sqrt(s * (s-a) * (s-a) * (s-b))) / s
r = (sqrt(10 * (10-6) * (10-6) * (10-8))) / 10
r = (sqrt(10 * 4 * 4 * 2)) / 10
r = (sqrt(320)) / 10
r ≈ 5,66 / 10 ≈ 0,566 см

Вычислим площадь треугольника:
S = sqrt(s * (s-a) * (s-a) * (s-b))
S = sqrt(10 * (10-6) * (10-6) * (10-8))
S = sqrt(10 * 4 * 4 * 2)
S = sqrt(320)

Вычислим радиус описанной окружности:
R = (a * a * b) / (4 * S)
R = (6 * 6 * 8) / (4 * sqrt(320))
R = (36 * 8) / (4 * sqrt(320))
R = 288 / (4 * sqrt(320))
R ≈ 36 / (4 * 17,89) ≈ 0,50 см

Совет:
Чтобы лучше понять тему, рекомендуется внимательно изучить формулы, особенно формулу для площади треугольника по формуле Герона. Также полезно проводить графические представления радиусов вписанной и описанной окружностей для лучшего визуального понимания.

Закрепляющее упражнение:
В равнобедренном треугольнике с основанием b = 10 см и его стороной a = 12 см, найдите радиус вписанной и описанной окружности.