Каков радиус окружности, в которую вписан треугольник АВС с углом А, менее 90 градусов, и радиус окружности, описанной

Предмет вопроса: Радиус окружности, вписанной и описанной около треугольника

Пояснение:
Для решения данной задачи, нам потребуется знание нескольких свойств окружностей, которые вписаны и описаны вокруг треугольников.

1. Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен половине произведения сторон треугольника и площади треугольника, деленной на его полупериметр. То есть, для треугольника АВС, радиус окружности, вписанной в него, вычисляется по следующей формуле:

радиус = площадь треугольника / полупериметр треугольника.

2. Радиус окружности, описанной около треугольника, равен произведению сторон треугольника, деленному на удвоенную площадь треугольника. Для треугольника АВС, радиус окружности, описанной около него, вычисляется по следующей формуле:

радиус = произведение сторон треугольника / (2 * площадь треугольника).

Пример:
Дан треугольник АВС, в котором угол А меньше 90 градусов. Известно, что АВ = 5 см, ВС = 6 см и СА = 7 см. Найдем радиус окружности, вписанной в этот треугольник, и радиус окружности, описанной вокруг него.

Для начала, найдем площадь треугольника АВС по формуле Герона:

полупериметр треугольника, P = (АВ + ВС + СА) / 2 = (5 + 6 + 7) / 2 = 9 см;

площадь треугольника, S = √(P * (P - AB) * (P - BC) * (P - AC) ) = √(9 * (9 - 5) * (9 - 6) * (9 - 7) ) = √(9 * 4 * 3 * 2) = √(216) ≈ 14.7 см².

Теперь найдем радиус окружности, вписанной в треугольник АВС:

радиус = S / P = 14.7 / 9 ≈ 1.63 см.

Аналогично, найдем радиус окружности, описанной около треугольника АВС:

радиус = AB * BC * AC / (2 * S) = 5 * 6 * 7 / (2 * 14.7) ≈ 10.57 см.

Совет:
Чтобы легче разобраться в этой теме, рекомендуется повторить формулы для вычисления площадей треугольников и способы нахождения радиусов окружностей вписанных и описанных вокруг треугольников.

Упражнение:
Дан треугольник АВС, в котором АВ = 8 см, ВС = 15 см и СА = 17 см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник, и радиус окружности, описанной вокруг него. Ответ округлите до второго знака после запятой.

Суть вопроса: Вписанная и описанная окружности треугольника

Объяснение:
Вопрос касается свойств вписанных и описанных окружностей треугольника. Вписанная окружность треугольника – это окружность, которая касается всех трех сторон треугольника. Описанная окружность треугольника – это окружность, которая проходит через все вершины треугольника.

Чтобы найти радиус вписанной окружности треугольника, можно воспользоваться формулой:
\[ r = \frac{a+b+c}{2s} \],
где \( r \) - радиус вписанной окружности, \( a, b, c \) - длины сторон треугольника, \( s \) - полупериметр треугольника (\( s = \frac{a+b+c}{2} \)).

Для нахождения радиуса описанной окружности треугольника, мы можем использовать формулу:
\[ R = \frac{abc}{4S} \],
где \( R \) - радиус описанной окружности, \( a, b, c \) - длины сторон треугольника, \( S \) - площадь треугольника.

Доп. материал:
Дано треугольник АВС со сторонами \( AB = 10 \) см, \( BC = 8 \) см и \( AC = 6 \) см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник, и радиус окружности, описанной вокруг треугольника.

Решение:
1. Найдем полупериметр треугольника \( s \):
\( s = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{10 + 8 + 6}{2} = 12 \) см.

2. Найдем радиус вписанной окружности \( r \):
\( r = \frac{AB + BC + AC}{2s} = \frac{10 + 8 + 6}{2 \cdot 12} = \frac{24}{24} = 1 \) см.

3. Найдем площадь треугольника \( S \) по формуле Герона:
\( S = \sqrt{s \cdot (s - AB) \cdot (s - BC) \cdot (s - AC)} = \sqrt{12 \cdot (12 - 10) \cdot (12 - 8) \cdot (12 - 6)} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6} \) см².

4. Найдем радиус описанной окружности \( R \):
\( R = \frac{AB \cdot BC \cdot AC}{4S} = \frac{10 \cdot 8 \cdot 6}{4 \cdot 4\sqrt{6}} = \frac{480}{16\sqrt{6}} = \frac{30}{\sqrt{6}} = 5\sqrt{6} \) см.

Таким образом, радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, равен 1 см, а радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 5√6 см.

Совет:
Чтобы лучше понять свойства вписанных и описанных окружностей треугольника, рекомендуется изучить геометрические свойства треугольников и окружностей, а также привести несколько примеров задач на данную тему для закрепления материала.

Практика:
Треугольник АВС равнобедренный, где \( AB = AC = 6 \) см, а угол между основанием и боковой стороной равен 80 градусов. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник, и радиус окружности, описанной около треугольника.