Каков радиус окружности, проходящей через вершину равностороннего шестиугольника, его середину противоположной стороны

Радиус вписанной окружности равностороннего шестиугольника:

Инструкция:
Зафиксируем равносторонний шестиугольник ABCDEF, где AB, BC, CD, DE, EF, FA - стороны шестиугольника. Пусть O - центр данного шестиугольника, I - центр вписанной окружности, и M - середина стороны AB.

Из определения вписанной окружности, известно, что радиус вписанной окружности является перпендикуляром, опущенным из центра окружности к любой из ее сторон.

Мы знаем, что IH⊥AB и IA⊥BC, где H и A - точки пересечения перпендикуляров с соответствующими сторонами.

Также, по свойству равностороннего шестиугольника, CM - высота равностороннего треугольника ABC. Так как AM = MB, то AM является медианой и высотой, перпендикулярной AB. Это означает, что I находится на середине AB, и IM⊥AB.

Таким образом, точка I, являющаяся центром вписанной окружности, лежит на прямой AM, а значит, радиус окружности равен R = IM.

Демонстрация:
Дан равносторонний шестиугольник ABCDEF со стороной длиной 8 см. Найдите радиус окружности, проходящей через вершину шестиугольника, середину противоположной стороны и центр шестиугольника, если вписанная окружность имеет радиус 6 см.

Решение:
Мы знаем, что радиус вписанной окружности равен расстоянию от центра окружности до любой из его сторон. Так как вписанная окружность имеет радиус 6 см, то радиус окружности, проходящей через вершину шестиугольника, середину противоположной стороны и центр шестиугольника, также будет равен 6 см.