Каков радиус окружности, если длина отрезка касательной AK равна 7√3 мм и угол ∢OAK составляет 30°?

Геометрия: Окружность и ее радиус

Пояснение: Чтобы найти радиус окружности, имея длину отрезка касательной и известный угол, нам понадобится использовать свойства треугольника, образованного центром окружности (O), точкой касания (A) и точкой пересечения касательной и окружности (K).

В данной задаче длина отрезка касательной AK равна 7√3 мм, и угол ∢OAK составляет 30°. Треугольник OAK является прямоугольным, так как линия касается радиуса в точке A.

Мы знаем, что угол ∢OAK равен 30°. Также, поскольку OA является радиусом окружности, угол ∢OAK равен углу ∢OAK" (где K" - перпендикулярный отрезок к OK) и K"K является высотой треугольника OAK.

Таким образом, угол ∢K"KO также равен 30°. Из геометрии прямоугольных треугольников мы знаем, что sin(30°) = K"K / AK.

Теперь мы можем решить эту задачу, найдя K"K и затем радиус окружности. Поскольку sin(30°) равен 1/2, мы можем записать следующее равенство:

1/2 = K"K / AK

Умножив обе стороны на AK, мы получим:

AK * 1/2 = K"K

7√3 * 1/2 = K"K

K"K = 7√3/2

Теперь мы знаем длину K"K, которая является высотой треугольника OAK. Для нахождения радиуса окружности, нам нужно найти половину диаметра (K"K + KK").

Поскольку OAK - прямоугольный треугольник, KK" равно K"K.

Таким образом, половина диаметра (или радиус) можно найти по формуле:

Радиус = (K"K + KK") / 2 = (7√3/2 + 7√3/2) / 2 = 7√3 / 2

Таким образом, радиус окружности равен 7√3 / 2 мм.

Совет: Чтобы лучше понять эту задачу, полезно визуализировать окружность и треугольник OAK на бумаге или в геометрической программе. Можно также изучить свойства прямоугольного треугольника и использовать их для решения этой и подобных задач.

Задача для проверки: Найдите радиус окружности, если длина отрезка касательной AK равна 10 см и угол ∢OAK составляет 60°.