Каков объем тела, получающегося при вращении прямоугольника с равными диагоналями m и острым углом φ вокруг его меньшей

Тема занятия: Объем тела, получающегося при вращении прямоугольника с равными диагоналями

Инструкция: Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать понятие объема образованного тела при вращении. Представим, что у нас есть прямоугольник с равными диагоналями m и острым углом φ. Если мы вращаем его вокруг его меньшей стороны, то получаем тело, которое называется эллипсоидом вращения.

Объем эллипсоида задается формулой V = (4/3) * π * a * b * с, где a, b и с - полуоси эллипсоида. В данной задаче, a и b будут равны половине диагонали прямоугольника, то есть a = b = m/2. А полуось с будет равна длине меньшей стороны прямоугольника.

Таким образом, объем тела можно вычислить по формуле V = (4/3) * π * (m/2) * (m/2) * c, где c - длина меньшей стороны прямоугольника.

Например:
Возьмем прямоугольник с диагональю m = 10 и острым углом φ = 45°. Длина меньшей стороны равна 6.
V = (4/3) * 3.14 * (10/2) * (10/2) * 6
V ≈ 628.32

Совет: Чтобы лучше понять эту задачу, важно знать формулу объема эллипсоида вращения и как употребить ее в данной ситуации. Также полезно визуализировать себе процесс вращения прямоугольника вокруг его стороны, чтобы лучше представить, какое тело будет образовываться.

Дополнительное задание:
1. Воздушный шар имеет форму прямоугольника с диагоналями длиной 8 и 6 единиц, а острый угол составляет 60°. Каков объем шара?
2. У прямоугольника равные диагонали длиной 12 единиц и острый угол φ равен 30°. Найдите длину меньшей стороны прямоугольника и объем тела, получающегося при его вращении вокруг этой стороны.