Каков объем шара, который описан вокруг цилиндра, если его высота составляет 2√7, а сторона правильного треугольника

Содержание: Объем шара, описанного вокруг цилиндра

Описание: Чтобы найти объем шара, описанного вокруг цилиндра, нам понадобятся некоторые формулы и свойства геометрии.

Дано, что высота цилиндра равна 2√7 и сторона вписанного в его основание треугольника равна 3√(3).

1. Найдем радиус цилиндра. Строим прямую, соединяющую вершину треугольника с центром его основания. Такая прямая называется медианой и делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Один из таких треугольников имеет стороны в соотношении 1:2:√3. Известно, что сторона треугольника равна 3√(3). Поэтому одна из катетов равна 3√(3)/2, а другая равна (3√(3)/2)*√3 = 3/2 * 3 = 9/2. Тогда радиус цилиндра равен половине гипотенузы, т.е., √((9/2)^2 + (3√(3)/2)^2) = √((81/4) + (27/4)) = √((108/4)) = √27 = 3√3.

2. Теперь найдем объем цилиндра. Формула для нахождения объема цилиндра: V = π * r^2 * h, где r - радиус цилиндра, а h - его высота. В нашем случае, радиус цилиндра r = 3√3, а его высота h = 2√7. Подставляем значения в формулу и получаем: V = π * (3√3)^2 * 2√7 = 18π√21.

Ответ: Объем шара, описанного вокруг цилиндра, равен 18π√21.

Совет: Чтобы лучше понять эту тему, рекомендуется изучить свойства геометрических фигур, таких как цилиндр и правильный треугольник, а также формулы для их объемов. Практикуйтесь в решении подобных задач, чтобы набраться опыта.

Дополнительное задание: Найдите объем шара, который описан вокруг цилиндра, если его высота составляет 4 см, а радиус основания цилиндра равен 2 см.