Каков объем фигуры, полученной при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой равной 6 корню

Предмет вопроса: Объем фигуры, образованной вращением равнобедренного прямоугольного треугольника

Объяснение: Чтобы понять, как найти объем фигуры, полученной при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника, необходимо вспомнить формулу для объема тела вращения.

Если известна фигура, образующаяся при вращении, то ее объем можно найти, используя формулу:

\[V = \pi \cdot \int_a^b f^2(x)\,dx\]

где \(V\) - объем фигуры, \(\pi\) - число пи (приближенное значение 3.14159), \(f(x)\) - функция, задающая сечение фигуры в каждой точке, а \(a\) и \(b\) - границы интегрирования.

В случае равнобедренного прямоугольного треугольника, при вращении вокруг гипотенузы, сечением фигуры будет полукруг.

Известно, что гипотенуза треугольника равна \(6 \cdot \sqrt{2}\). Радиус полукруга будет равен половине длины гипотенузы. Таким образом, радиус \(r\) будет равен \(3 \cdot \sqrt{2}\).

Подставим это значение в формулу и вычислим объем фигуры:

\[V = \pi \cdot \int_0^{3 \cdot \sqrt{2}} (3 \cdot \sqrt{2})^2\,dx\]

\[V = \pi \cdot \int_0^{3 \cdot \sqrt{2}} 18\,dx\]

\[V = \pi \cdot [18x]_0^{3 \cdot \sqrt{2}}\]

\[V = \pi \cdot (18 \cdot 3 \cdot \sqrt{2})\]

\[V = 54 \pi \cdot \sqrt{2}\]

Таким образом, объем фигуры, полученной при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой равной \(6 \cdot \sqrt{2}\) вокруг своей оси, равен \(54 \pi \cdot \sqrt{2}\).

Например: Найдите объем фигуры, полученной при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой равной 10 вокруг своей оси.

Совет: Для лучшего понимания этой темы рекомендуется изучить материал о вращении фигур вокруг оси и формулы для нахождения объема тел вращения.

Дополнительное задание: Найдите объем фигуры, полученной при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой равной 8 вокруг своей оси.

Тема урока: Объем фигуры, полученной при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой равной 6 корню из 2.

Разъяснение: Для решения этой задачи, нам понадобится знание формулы для объема фигуры, полученной при вращении другой фигуры вокруг оси. В данном случае, мы должны вращать прямоугольный треугольник вокруг его гипотенузы. Объем такой фигуры можно найти, используя формулу объема цилиндра.

Формула объема цилиндра:
V = π * r^2 * h

В нашем случае, гипотенуза равна 6 корню из 2, поэтому половина гипотенузы (r) равна 6 / 2 = 3 корня из 2. Высота цилиндра (h) равна длине прямоугольного треугольника.

Длина прямоугольного треугольника можно найти с помощью теоремы Пифагора:
a^2 + b^2 = c^2

Где а и b - катеты прямоугольного треугольника, а с - гипотенуза.

Так как треугольник равнобедренный, а и b равны друг другу, поэтому:
2 * a^2 = c^2

С учетом того, что c равна 6 корню из 2:
2 * a^2 = (6 корень из 2)^2
2 * a^2 = 36 * 2
2 * a^2 = 72

Найдем а, взяв квадратный корень:
a = √(72 / 2)
a = √36
a = 6

Теперь мы знаем все необходимые значения для подстановки в формулу объема цилиндра, где r = 3 корень из 2 и h = 6:
V = π * (3 корень из 2)^2 * 6

Для получения численного значения, нам понадобится приближенное значение числа π. Возьмем его равным 3.14:
V = 3.14 * (3 корень из 2)^2 * 6

Подсчитаем это выражение, чтобы найти объем фигуры.

Пример:
Узнайте объем фигуры, полученной при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой равной 6 корню из 2 вокруг своей оси.

Совет:
Для лучшего понимания материала, полезно изучать геометрические фигуры и формулы, связанные с объемом и вращением. Также стоит освоить использование калькулятора для выполнения вычислений более точно и быстро.

Задача на проверку:
Найдите объем фигуры, полученной при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой равной 5 вокруг своей оси. (Выполните вычисления с точностью до сотых)