Каков косинус угла между векторами m=3a-b и n=a+4b, при условии, что векторы a и b перпендикулярны и имеют модуль

Тема: Косинус угла между векторами

Пояснение: Для нахождения косинуса угла между двумя векторами нам понадобится использовать скалярное произведение векторов и их модули. Скалярное произведение двух векторов определяется как произведение модулей векторов на косинус угла между ними. Для нахождения косинуса угла между векторами m и n, мы должны вычислить скалярное произведение этих векторов и поделить его на произведение модулей этих векторов.

В данной задаче у нас даны векторы m = 3a - b и n = a + 4b. Мы знаем, что векторы a и b перпендикулярны, то есть угол между ними равен 90 градусов. Нам также дано, что модуль вектора a равен |a| = 2 и модуль вектора b равен |b| = 1.

Давайте вычислим скалярное произведение этих векторов:

m · n = (3a - b) · (a + 4b)
= 3a · a + 3a · 4b - b · a - b · 4b

Так как векторы a и b перпендикулярны, угол между ними равен 90 градусов, а значит, их скалярное произведение равно нулю (a · b = 0). Поэтому формула для скалярного произведения в данном случае будет выглядеть следующим образом:

m · n = 3a · a - b · b

Теперь осталось лишь вычислить значения скалярных произведений a · a и b · b, а затем подставить их в формулу.

a · a = |a|^2 = 2^2 = 4
b · b = |b|^2 = 1^2 = 1

Теперь подставим значения в формулу и вычислим:

m · n = 3a · a - b · b = 3 * 4 - 1 = 12 - 1 = 11

Наконец, найдем косинус угла между векторами, разделив скалярное произведение на произведение модулей векторов:

cos(θ) = (m · n) / (|m| * |n|)
cos(θ) = 11 / (|3a - b| * |a + 4b|)

Теперь мы знаем значение косинуса угла между векторами m и n.

Пример: Найдите косинус угла между векторами m = 3a - b и n = a + 4b, при условии, что векторы a и b перпендикулярны, а модуль вектора a равен 2, а модуль вектора b равен 1.

Совет: Помните, что чтобы вычислить косинус угла между векторами, вам необходимо знать скалярное произведение векторов и их модули. Также обратите внимание на то, что перпендикулярные векторы имеют нулевое скалярное произведение.

Закрепляющее упражнение: Вычислите косинус угла между векторами p = 2a + 3b и q = a - 5b, при условии, что векторы a и b перпендикулярны, а модуль вектора a равен 3, а модуль вектора b равен 2.