Каков косинус угла C в треугольнике АВС с вершинами в точках А(3; 1), В(–2; 5) и С(–5

Тема урока: Косинус угла в треугольнике

Описание: Для того чтобы определить косинус угла С в треугольнике АВС, нам понадобятся координаты всех трех вершин. В данной задаче у нас заданы координаты точек А(3; 1), В(–2; 5) и С(–5; 2). Воспользуемся формулой для вычисления косинуса угла между двумя векторами:
cos(С) = (AB · AC) / (|AB| * |AC|),
где AB и AC - векторы, |AB| и |AC| - их длины, AB · AC - их скалярное произведение.
Теперь найдем координаты векторов AB и AC:
AB = (x2 - x1, y2 - y1) = (-2 - 3, 5 - 1) = (-5, 4),
AC = (x3 - x1, y3 - y1) = (-5 - 3, 2 - 1) = (-8, 1).
Вычислим длины векторов:
|AB| = √((-5)^2 + 4^2) = √(25 + 16) = √41,
|AC| = √((-8)^2 + 1^2) = √(64 + 1) = √65.
Теперь найдем скалярное произведение векторов:
AB · AC = -5 * -8 + 4 * 1 = 40 - 5 = 35.
Итак, мы получили все значнения для вычисления косинуса угла С. Подставим их в формулу:
cos(С) = 35 / (√41 * √65) ≈ 0.503.
Таким образом, косинус угла С в треугольнике АВС примерно равен 0.503.

Демонстрация:
Задача: Найти косинус угла С в треугольнике АВС с вершинами в точках А(3; 1), В(–2; 5) и С(–5; 2).
Решение: Сначала вычисляем векторы AB и AC: AB = (-5, 4), AC = (-8, 1).
Затем находим длины векторов |AB| ≈ √41 и |AC| ≈ √65.
После этого находим скалярное произведение векторов AB · AC = 35.
И, наконец, подставляем все значения в формулу cos(С) = 35 / (√41 * √65) ≈ 0.503.
Ответ: Косинус угла С в треугольнике АВС примерно равен 0.503.

Совет: Для более легкого понимания работы с векторами в треугольнике, рекомендуется изучить основные понятия и свойства векторов в геометрии, а также формулы для их вычисления, включая длину вектора и скалярное произведение.

Задача на проверку: Найти косинус угла B в треугольнике АВС с вершинами в точках А(2; 3), В(–4; 6) и С(1; –2).