Какое отношение имеет прямая, проведенная через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно ее основаниям

Название: Отношение площадей трапеции при параллельной прямой через точку пересечения диагоналей

Разъяснение: Пусть у нас есть трапеция ABCD, где AB и CD - основания, а AC и BD - диагонали, причем прямая EF проходит через точку пересечения диагоналей AC и BD и параллельна основаниям AB и CD.

1. Проведем высоту AH, которая является перпендикуляром к основаниям AB и CD.
2. По свойству параллельных линий, отрезки AE и CF также являются перпендикулярными основаниям AB и CD.
3. Рассмотрим треугольники AEH и CFH. Они имеют общий основание и равны по высоте, так как их вершины находятся на одной горизонтальной прямой.
4. Значит, площади данных треугольников равны: S(AEH) = S(CFH).

Теперь рассмотрим трапеции ABFE и CDHE:

5. Отношение площадей трапеций равно отношению сумм площадей их составляющих треугольников.
То есть, S(ABFE) / S(CDHE) = (S(AEH) + S(ABH)) / (S(CFH) + S(CHD)).
6. По пункту 4, S(AEH) = S(CFH), и S(ABH) = S(CHD), так как треугольники равны.
7. Получаем S(ABFE) / S(CDHE) = (S(AEH) + S(ABH)) / (S(CFH) + S(CHD)) = (S(AEH) + S(CHD)) / (S(CFH) + S(CHD)).
8. Обратим внимание, что (S(AEH) + S(CHD)) равно площади всей трапеции ABCD.
Таким образом, S(ABFE) / S(CDHE) = площадь ABCD / (S(CFH) + S(CHD)).

Демонстрация: Пусть площадь трапеции ABCD равна 40 квадратных сантиметров, а сумма площадей треугольников AEH и CHD равна 12 квадратных сантиметров. Какое отношение между площадями трапеций ABFE и CDHE?

Совет: Чтобы лучше понять данное отношение, можно нарисовать схематический рисунок трапеции и заданных линий. Также полезно рассмотреть случаи, когда площади треугольников AEH и CHD равны 0 или равны друг другу.

Задача на проверку: В трапеции ABCD площадь треугольника AEH равна 36 квадратных метров, а сумма площадей треугольников AEH и CHD равна 63 квадратных метра. Найдите отношение площадей трапеций ABFE и CDHE.