Каким будет уравнение плоскости, проходящей через точку М (-5; 1; 1) и имеющей нормальный вектор n = (-4; 2; -1)?

Суть вопроса: Уравнение плоскости

Пояснение:
Уравнение плоскости может быть записано в виде Ax + By + Cz + D = 0, где A, B и C - коэффициенты, характеризующие нормальный вектор плоскости, а x, y и z - координаты точки на плоскости.

Нормальный вектор плоскости задается как n = (A, B, C). Таким образом, чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через точку М и имеющей нормальный вектор n, мы можем использовать координаты М и значения n.

Для данной задачи, имеем точку М(-5, 1, 1) и нормальный вектор n = (-4, 2, -1). Мы можем использовать эти значения и подставить их в уравнение плоскости.

Уравнение плоскости будет выглядеть следующим образом:
-4x + 2y - z + D = 0

Чтобы найти значение D, мы можем подставить координаты точки М в уравнение плоскости:
-4(-5) + 2(1) - 1 + D = 0

Упрощая это уравнение, получаем:
20 + 2 - 1 + D = 0
D = -21

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку М(-5, 1, 1) и имеющей нормальный вектор n = (-4, 2, -1), будет выглядеть так:
-4x + 2y - z - 21 = 0

Демонстрация: Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку A(2, -3, 4) и имеющей нормальный вектор n = (1, 2, -3).

Совет: Чтобы лучше понять уравнение плоскости, вы можете представить его графически и визуализировать, как эта плоскость проходит через заданную точку и имеет определенный нормальный вектор.

Дополнительное задание: Найти уравнение плоскости, проходящей через точку B(3, -2, 5) и имеющей нормальный вектор n = (2, -1, 3).

Суть вопроса: Уравнение плоскости с заданной точкой и нормальным вектором
Пояснение: Для определения уравнения плоскости, проходящей через заданную точку и имеющей нормальный вектор, мы можем использовать следующий метод. Плоскость задается уравнением Ax + By + Cz + D = 0, где (x, y, z) - координаты любой точки в плоскости. Нормальный вектор плоскости (A, B, C) перпендикулярен этой плоскости. Для нахождения уравнения плоскости с заданной точкой и нормальным вектором, мы можем использовать следующие шаги:
1. Найдите значения A, B и C, используя нормальный вектор.
2. Подставьте координаты заданной точки (М) в уравнение плоскости и найдите значение D.
3. Запишите полное уравнение плоскости, используя найденные значения A, B, C и D.
В данной задаче, с заданной точкой М(-5; 1; 1) и нормальным вектором n = (-4; 2; -1), мы можем приступить к решению.
1. Найдем значения A, B и C, используя нормальный вектор:
A = -4, B = 2, C = -1.
2. Подставим координаты заданной точки в уравнение плоскости:
-4*(-5) + 2*1 + (-1)*1 + D = 0.
20 + 2 - 1 + D = 0.
D = -21.
3. Полное уравнение плоскости:
-4x + 2y - z - 21 = 0.
Доп. материал: Даны точка Q(-2; 3; 4) и нормальный вектор n = (1; 2; -3). Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку Q и имеющей нормальный вектор n.
Совет: Чтобы лучше понять концепцию уравнений плоскостей, полезно изучить геометрическую интерпретацию плоскости и нормального вектора.
Задание для закрепления: Даны точка P(2; -1; 3) и нормальный вектор n = (-3; 1; 2). Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку P и имеющей нормальный вектор n.