Какие размеры должен иметь закрытый цилиндрический резервуар с объемом 93,312π, чтобы использовать как можно меньше

Задача: Какие размеры должен иметь закрытый цилиндрический резервуар с объемом 93,312π, чтобы использовать как можно меньше материала на его создание? Требуется определить радиус основания и высоту цилиндра.

Разъяснение: Для решения этой задачи мы будем использовать формулу для объема цилиндра: V = πr²h, где V - объем цилиндра, r - радиус основания, h - высота цилиндра.

Мы знаем, что V = 93,312π, поэтому мы можем записать уравнение в виде 93,312π = πr²h.

Чтобы использовать как можно меньше материала на создание резервуара, нам необходимо минимизировать суммарную площадь его поверхности. Площадь поверхности цилиндра состоит из площади основания и площади боковой поверхности. Площадь основания равна πr², а площадь боковой поверхности равна 2πrh. Таким образом, суммарная площадь поверхности цилиндра равна 2πrh + πr².

Мы хотим минимизировать эту суммарную площадь поверхности, поэтому нам необходимо минимизировать выражение 2πrh + πr².

Решая уравнение 93,312π = πr²h относительно h, получаем h = 93,312/r².

Теперь мы можем подставить это значение в выражение для суммарной площади поверхности цилиндра и получить выражение только относительно r:

S = 2πrh + πr² = 2πr(93,312/r²) + πr² = 186,624π/r + πr².

Для минимизации этого выражения, возьмем его производную по r и приравняем к нулю:

dS/dr = -186,624π/r² + 2πr = 0.

Упрощая это уравнение, получаем -186,624π = 2πr³.

Разделив обе части уравнения на 2π, получим r³ = -93,312.

Возведя обе части уравнения в степень 1/3, получим r = ∛(-93,312).

Теперь, когда мы знаем значение r, мы можем подставить его в уравнение для высоты h:

h = 93,312/r² = 93,312/(∛(-93,312))².

Таким образом, размеры закрытого цилиндрического резервуара, использующего как можно меньше материала, будут иметь радиус основания r = ∛(-93,312) и высоту h = 93,312/(∛(-93,312))².

Совет: Для понимания решения этой задачи вам может помочь знание формулы для объема цилиндра и понимание, как минимизировать площадь поверхности цилиндра. Также обратите внимание на использование производной для нахождения экстремума функции.

Задача для проверки: Найдите размеры закрытого цилиндрического резервуара с объемом 200π, чтобы использовать как можно меньше материала на его создание. Определите радиус основания и высоту цилиндра.