Какая длина отрезка mn, если точки m(4; −7; 2) и n(x; y; z) являются симметричными относительно плоскости yoz?

Тема занятия: Расстояние между точками в трехмерном пространстве

Инструкция:
Чтобы найти длину отрезка mn, необходимо найти расстояние между точками m(4; −7; 2) и n(x; y; z), которые являются симметричными относительно плоскости yoz. Для этого можно воспользоваться формулой расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве.

Формула для вычисления расстояния между двумя точками P(x₁; y₁; z₁) и Q(x₂; y₂; z₂) в трехмерном пространстве:

d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)

В данном случае, координаты точки P(x₁; y₁; z₁) равны m(4; −7; 2), а координаты точки Q(x₂; y₂; z₂) равны n(x; y; z).

С учетом условия о симметричности точек m и n относительно плоскости yoz, координаты точки n будут (4; y; z).

Заменив значения в формуле, получаем:

d = √((4 - 4)² + (y - (-7))² + (z - 2)²)

Упрощая выражение, имеем:

d = √(y² + (z - 2)² + 49)

Таким образом, длина отрезка mn равна √(y² + (z - 2)² + 49).

Дополнительный материал:
Для точки n с координатами (2; 5; 3), длина отрезка mn будет:

d = √(5² + (3 - 2)² + 49) = √(25 + 1 + 49) = √75 ≈ 8.66

Совет:
Для более лучшего понимания и усвоения данного материала, рекомендуется повторить основные понятия трехмерной геометрии, включая координаты точек в трехмерном пространстве, формулу для вычисления расстояния между точками и понятие симметричности.

Ещё задача:
Найдите длину отрезка mn для точки n с координатами (-1; 3; -2).

Содержание: Симметрия относительно плоскости

Описание: Чтобы решить задачу, мы должны использовать свойство симметрии относительно плоскости. Если точка M(x1; y1; z1) является симметричной относительно плоскости yoz, то координаты точки N(x2; y2; z2), симметричной относительно той же плоскости, можно найти с помощью формулы: x2 = x1, y2 = -y1, z2 = -z1.

В данной задаче точка M имеет координаты (4; -7; 2), и точка N(x; y; z) является симметричной относительно плоскости yoz. Следовательно, координаты точки N будут равны: x = 4, y = -(-7) = 7, z = -(2) = -2.

Таким образом, координаты точки N равны (4; 7; -2). Чтобы найти длину отрезка MN, мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2),

где d - расстояние между точками M и N.

Подставляя значения координат точек M и N, мы получим:

d = sqrt((4 - 4)^2 + (7 - (-7))^2 + (-2 - 2)^2) = sqrt(0 + 14^2 + 0) = sqrt(196) = 14.

Таким образом, длина отрезка MN равна 14.

Совет: Чтобы лучше понять концепцию симметрии относительно плоскости, рекомендуется нарисовать соответствующую диаграмму и визуализировать процесс симметрии точек.

Практика: Найдите координаты точки N", симметричной точке M(-2; 5; 3) относительно плоскости yoz. Затем найдите длину отрезка MN".