Как выразить вектор BD через векторы b и c в треугольнике ABC, где точка D лежит на стороне BC и BD:DC=1:2

Тема урока: Векторы в треугольнике

Описание: Для нахождения вектора BD через векторы b и c в треугольнике ABC, мы можем использовать пропорциональность длин отрезков BD и DC. Пусть вектор BD обозначен как d, вектор BC как m, и вектор DC как n. Тогда мы знаем, что длина вектора BD в 2 раза больше длины вектора DC, то есть |d| = 2|n|.

Теперь вспомним свойство векторов, что вектор можно представить как сумму двух других векторов. Вектор DC можно представить как разность векторов BC и BD: n = m - d.

Из этого уравнения мы можем выразить вектор BD:

d = m - n

Но мы также знаем, что |d| = 2|n|. Подставим в это уравнение выражение для n:

|d| = 2|m - d|

Раскроем модули:

|d| = 2|м| - 2|d|

Разделим обе части на 2:

|d|/2 = |м| - |d|

Теперь сгруппируем все, что содержит вектор d:

|d|/2 + |d| = |м|

Сложим модули:

3|d|/2 = |м|

И наконец, выразим вектор d:

|d| = 2|м|/3

d = (2/3)|м|

Демонстрация: Если вектор b = (3, -1) и вектор c = (2, 4), то мы можем найти вектор m = b + c:

m = (3, -1) + (2, 4) = (3+2, -1+4) = (5, 3)

Теперь, используя найденный вектор m, мы можем найти вектор d:

d = (2/3)(5, 3) = (10/3, 2)

Таким образом, вектор BD выражается как d = (10/3, 2).

Совет: Чтобы лучше понять эту тему, полезно освежить знания о свойствах векторов и операциях над ними. Обратите внимание на то, что вектор может быть представлен как сумма или разность других векторов. Также, помните о свойствах пропорциональности векторов и способах выражения одного вектора через другие. Практика решения подобных задач поможет вам лучше усвоить материал.

Дополнительное упражнение: В треугольнике ABC точка D лежит на стороне BC так, что BD:DC = 3:4. Если вектор AB = (6, -3) и вектор AC = (-2, 7), найдите вектор BD.