Как можно доказать теорему о катете, противолежащем углу размером 30 градусов?

Название: Теорема о катете, противолежащем углу размером 30 градусов.

Объяснение: Теорема о катете, противолежащем углу размером 30 градусов, гласит, что при наличии прямоугольного треугольника, угол которого равен 30 градусов, и катета, противолежащего этому углу, можно доказать, что отношение длины этого катета к длине гипотенузы равно 1/2√3, или ~0.866.

Для доказательства этой теоремы следует воспользоваться треугольником с углом в 30 градусов и провести катет, который противолежит данному углу. Затем следует просто применить геометрический анализ для вычисления отношения длины катета к длине гипотенузы.

Пример:
Дано: прямоугольный треугольник ABC, угол BAC равен 30 градусов.
Требуется: доказать, что отношение длины катета BC к длине гипотенузы AB равно 0.866.

Доказательство:
1. Проводим катет BC, противолежащий углу BAC.
2. Обозначим длину катета BC как a и длину гипотенузы AB как c.
3. Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ABC, получаем уравнение a² + (c/2)² = c².
4. Раскрываем скобки и упрощаем уравнение: a² + c²/4 = c².
5. Умножаем все члены уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби: 4a² + c² = 4c².
6. Вычитаем c² из обеих частей уравнения: 4a² = 3c².
7. Делим обе части уравнения на 4c²: a²/c² = 3/4.
8. Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения: a/c = √(3/4).
9. Упрощаем: a/c = √3/2.
10. Получаем отношение длины катета BC к длине гипотенузы AB: a/c = 1/2√3 ≈ 0.866.

Совет: Чтобы лучше понять эту теорему и связанные с ней понятия, рекомендуется изучить основы геометрии, включая определения прямоугольного треугольника, катетов и гипотенузы, а также основной теоремы геометрии, включающей теорему Пифагора.

Практика: В прямоугольном треугольнике угол BAC равен 30 градусам. Длина гипотенузы AB равна 8. Найдите длину катета BC.

Теорема о катете, противолежащем углу размером 30 градусов

Пояснение:
Теорема о катете, противолежащем углу размером 30 градусов, утверждает, что в прямоугольном треугольнике, где один из углов равен 30 градусам, катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы.

Для доказательства этой теоремы, давайте рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол B равен 30 градусам. Пусть сторона AB - гипотенуза, а сторона BC - катет, противолежащий углу B.

Мы знаем, что угол B равен 30 градусам. Также мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180 градусам, поэтому угол A равен 90 градусам и угол C равен 60 градусам.

Пользуясь соответствующими тригонометрическими отношениями, мы можем записать следующее:

tg(30 градусов) = BC/AB

Поскольку tg(30 градусов) равно 1/√3 (это можно найти в таблице тригонометрических значений), мы можем записать:

1/√3 = BC/AB

Теперь умножим обе части уравнения на AB:

AB/√3 = BC

Таким образом, мы получили равенство BC = AB/√3.

Демонстрация:
Пусть в прямоугольном треугольнике с гипотенузой длиной 6 см угол B равен 30 градусам. Какова длина катета, противолежащего углу B?

Решение:
Для решения этой задачи, мы можем использовать теорему о катете, противолежащем углу размером 30 градусов.

BC = AB/√3 = 6/√3 = 2√3 см.

Таким образом, длина катета, противолежащего углу B, равна 2√3 см.

Совет:
Для лучшего понимания теоремы о катете, противолежащем углу размером 30 градусов, рекомендуется изучить тригонометрические отношения и выполнять практические задания с использованием данных отношений.

Задача на проверку:
В прямоугольном треугольнике, угол B которого равен 30 градусам, гипотенуза равна 10 см. Найдите длину катета, противолежащего углу B.