Имеет ли выпуклый многогранник со 8 вершинами сумму всех своих плоских углов меньше, чем 3200∘?

Содержание: Многогранники и плоские углы.

Описание: Для понимания данной задачи, важно предварительно разобраться в определениях выпуклого многогранника и плоского угла.

Выпуклый многогранник - это такой многогранник, каждый из которых его грани является плоским многоугольником, и все внутренние углы этого многогранника меньше 180°.

Плоский угол - это угол, расположенный на плоскости, где две лучи, исходящие из общей вершины, лежат на этой плоскости.

Для решения задачи о сумме плоских углов выпуклого многогранника с 8 вершинами, нам нужно знать, какие углы мы суммируем.

В случае многогранника с вершинами, но без ребер (так называемый "метательный многогранник"), углы, образованные связью между вершинами, равны 360°. Это связано с тем, что в плоскости каждая новая вершина добавляет два новых угла, дающих в сумме 360°.

Однако в нашем случае у нас есть ребра, и каждое ребро добавляет дополнительный угол в сумму. Общая сумма плоских углов будет больше, чем 360°, и мы должны вычислить эту сумму.

Так как у нас есть многогранник с 8 вершинами, а каждая вершина добавляет по два угла, общая сумма углов будет равна 8 * 2 * 180° = 2880°.

Очевидно, что 2880° меньше, чем 3200°, поэтому ответ на данную задачу утвердительный: сумма всех плоских углов выпуклого многогранника со 8 вершинами меньше, чем 3200°.

Совет: Чтобы лучше понять и запомнить это правило, можно нарисовать многогранник на бумаге и обозначить все углы. Также полезно заниматься регулярными упражнениями на конструирование многогранников и вычисление суммы их углов.

Задача для проверки: На рисунке ниже изображен многогранник с 6 вершинами. Попробуйте вычислить сумму всех его плоских углов.

____
/ ______ (_
(______(_-_ / _______)uzz__
.-"/ /
/ / /
__ / /_____ /
\ /