Есть две плоскости - альфа и бета, и прямая а пересекает обе плоскости. При этом, прямая а лежит в плоскости альфа

Тема: Доказательство принадлежности точки А плоскости бета

Инструкция:
Чтобы доказать, что точка А принадлежит плоскости бета, мы можем использовать два факта: прямая а лежит в плоскости альфа, и прямая а пересекает обе плоскости.

Допустим, точка С - точка пересечения прямой а с плоскостью альфа. Так как прямая а лежит в плоскости альфа, то всякую точку на этой прямой можно представить в виде r = p + td, где р - любая точка на прямой, р0 - точка С, d - направляющий вектор прямой, а t - произвольное число.

Теперь рассмотрим плоскость бета. Для того чтобы доказать, что точка А принадлежит плоскости бета, необходимо показать, что все точки на прямой а принадлежат плоскости бета.

Возьмем любую точку на прямой а, обозначим ее р1. Также прямая а пересекает плоскость бета, поэтому любая точка на прямой а может быть представлена в виде r1 = q + sd, где q - точка пересечения прямой а с плоскостью бета, а s - произвольное число.

Так как любая точка на прямой а может быть представлена как р1 или р, то мы можем написать следующее: р = p + td = q + sd.

Из этих уравнений получаем, p + td = q + sd. Подставляя вместо t и s значения представления точек р и р1, получаем: p + (q + sd)d = q + sd. Упрощая, получаем p = q.

Это означает, что точка А принадлежит плоскости бета.

Пример использования:
Если прямая а задана уравнением x = 2t, y = t + 1, z = 3t - 2, то точка А, принадлежащая плоскости бета, заданной уравнением 2x - 3y + 5z = 1, может быть найдена путем подстановки t = 1 в уравнения точки А. Получим, что А(2, 2, 1) принадлежит плоскости бета.

Совет:
Для лучшего понимания данного материала рекомендуется изучить понятие прямой в пространстве и плоскости, а также уравнения прямой и плоскости. Работа с графическим представлением данных фигур также поможет визуализировать процесс пересечения прямой и плоскости.

Упражнение:
Доказать, что точка B(-1, 4, 2) принадлежит плоскости Г, заданной уравнением x + 2y - z = 0, если прямая а, проходящая через точку B, также пересекает плоскость альфа, заданную уравнением 2x - y + 3z = 5.