Доведіть, що трикутник АВС є прямокутним та обчисліть його площу, знаючи, що вершини трикутника мають координати

Тема: Площадь и прямоугольность треугольника АВС в трехмерном пространстве

Объяснение: Для обоснования прямоугольности треугольника АВС в трехмерном пространстве, мы можем использовать теорему Пифагора. Если квадрат длины наибольшей стороны треугольника равен сумме квадратов длин двух других сторон, то треугольник является прямоугольным.

Рассмотрим векторы АВ и АС и найдем их длины:

Вектор АВ: AB = (1-3, 2-1, -1-2) = (-2, 1, -3)
Длина вектора AB: |AB| = √((-2)^2 + 1^2 + (-3)^2) = √(4 + 1 + 9) = √14

Вектор AC: AC = (-2-3, 2-1, 1-2) = (-5, 1, -1)
Длина вектора AC: |AC| = √((-5)^2 + 1^2 + (-1)^2) = √(25 + 1 + 1) = √27

Теперь найдем длину стороны ВС:

Строна ВС: BC = (1-(-2), 2-2, -1-1) = (3, 0, -2)
Длина стороны ВС: |BC| = √(3^2 + 0^2 + (-2)^2) = √(9 + 0 + 4) = √13

Теперь найдем наибольшую длину и проверим выполнение теоремы Пифагора:

Наибольшая длина: |BC| = √13

Сумма квадратов остальных сторон: |AB|^2 + |AC|^2 = (√14)^2 + (√27)^2 = 14 + 27 = 41

Так как |BC|^2 = 13 ≠ 41, то треугольник АВС не является прямоугольным.

Для вычисления площади треугольника АВС в трехмерном пространстве, мы можем использовать формулу полупериметра и радиуса вписанной сферы:

Полупериметр треугольника p = (|AB| + |AC| + |BC|) / 2 = (√14 + √27 + √13) / 2

Площадь треугольника АВС: S = √(p * (p-|AB|) * (p-|AC|) * (p-|BC|))

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника АВС, используя известные значения длин:

S = √((√14 + √27 + √13)/2 * ((√14 + √27 + √13)/2-√14) * ((√14 + √27 + √13)/2-√27) * ((√14 + √27 + √13)/2-√13)).

Это даёт для значения S приблизительно 14.27.

Совет: Для лучшего понимания этой темы, рекомендуется ознакомиться с основами векторов и теоремой Пифагора в трехмерном пространстве. Создание 3D-графиков и визуализация треугольника также может помочь в понимании.

Упражнение: Найдите длины сторон треугольника со следующими вершинами A(2;-1;3), B(0;4;-2) и C(-3;2;1). Определите, является ли треугольник прямоугольным, и вычислите его площадь с точностью до двух десятичных знаков.