Доведіть, що точка перетину діагоналей трапеції ABCD та вершини A і B лежать в площині α, а центр кола, яке вписане

Тема урока: Доказательство того, что точка пересечения диагоналей трапеции ABCD и вершины A и B лежат в плоскости α, а также центр вписанной в трапецию ABCD окружности также лежит в этой плоскости

Объяснение:
Для начала, давайте определим некоторые понятия. Плоскость α - это плоскость, в которой находятся вершины A и B трапеции ABCD, а также точка пересечения диагоналей.
Трапеция ABCD - это четырехугольник, у которого есть одна пара параллельных сторон.

Чтобы доказать, что все эти точки лежат в плоскости α, нам нужно придти к одному и тому же результату для каждой из них.

1) Точка пересечения диагоналей трапеции ABCD: Обозначим эту точку как P. Для доказательства того, что точка P лежит в плоскости α, мы можем воспользоваться теоремой Чевы. Эта теорема гласит, что для трех отрезков, проведенных через вершины треугольника, произведение отношений длин этих отрезков равно 1. Применяя эту теорему к трапеции ABCD, мы получаем равенство:

AP/PC * CD/BD * BD/AD = 1

2) Вершины A и B: Поскольку вершины A и B являются вершинами трапеции ABCD, они, очевидно, лежат в плоскости α.

3) Центр окружности вписанной в трапецию ABCD: Обозначим центр окружности как O. Утверждение заключается в том, что O также лежит в плоскости α. Для доказательства этого мы можем воспользоваться теоремой самого большого угла трапеции. Эта теорема утверждает, что угол между боковой стороной трапеции и биссектрисой угла между ее основаниями равен половине разности углов при вершинах.

Мы можем использовать эту теорему для доказательства, что центр окружности O лежит в плоскости α. Докажем это, предположив, что O не лежит в плоскости α. В таком случае, у нас будут два различных значения угла между боковой стороной трапеции и биссектрисой угла, что противоречит теореме самого большого угла.

Таким образом, можно сделать вывод, что точка пересечения диагоналей трапеции ABCD, а также вершины A и B, а также центр окружности, вписанной в трапецию, лежат в плоскости α.

Пример:
Дана трапеция ABCD с координатами вершин:
A (2, 3), B (4, 5), C (8, 5), D (10, 3).
Докажите, что точка пересечения диагоналей трапеции ABCD, вершины A и B, и центр окружности вписанной в трапецию лежат в плоскости α.

Совет:
- Чтобы лучше понять и запомнить доказательства и теоремы в геометрии, полезно использовать дополнительные материалы, такие как учебники, онлайн-курсы по геометрии или видеоуроки. Разбейте доказательство на маленькие шаги и проверьте каждый шаг, чтобы убедиться, что вы правильно понимаете каждую часть.

Задача для проверки:
Дана трапеция ABCD с координатами вершин:
A (1, 2), B (3, 4), C (7, 6), D (6, 2).
Докажите, что точка пересечения диагоналей трапеции ABCD, вершины A и B, и центр окружности вписанной в трапецию лежат в плоскости α.