Докажите равенство АС=СМ в остроугольном треугольнике ABC. В треугольнике ABC проведена высота CH, точка

Тема: Доказательство равенства в остроугольном треугольнике

Разъяснение: Для доказательства равенства АС=СМ, нам потребуется использовать данные о строении данного треугольника и рассмотреть соответствующие свойства.

Исходя из условия задачи, у нас есть остроугольный треугольник ABC, где CH - высота. Также точка P является симметричной точке A относительно прямой BC.

Чтобы начать доказательство, нам нужно обратить внимание на то, что треугольник HAC подобен треугольнику HPC. Так как точка P - симметрична точке A, то угол АCH равен углу BCH, и угол CHA равен углу CHP. Таким образом, треугольники HAC и HPC подобны по двум углам.

Рассмотрим треугольник APC. Так как угол CAP и угол CPА оба вписанные углы и опираются на дугу АР, то они равны между собой.

Но угол CAP равен углу CBА, так как они соответственные углы параллельных прямых. Значит, угол CPА также равен углу CBА.

Теперь рассмотрим треугольник CMB. На основании свойств вписанных углов треугольника АРС, угол CPА равен углу CMВ.

В итоге, мы получили, что угол CBА равен углу CMВ. Поскольку стороны АС и СМ противоположны этим углам, то мы можем сделать вывод, что АС=СМ. Великолепно, мы доказали равенство!

Пример использования: Докажите, что AC = CM в остроугольном треугольнике ABC, где H - основание высоты, P - симметричная точка A относительно BC, K - точка пересечения СН с окружностью, описанной около треугольника АСР, и R - точка пересечения КР и AB.

Совет: Чтобы лучше понять данное доказательство, рекомендуется внимательно изучить свойства вписанных углов и параллельных прямых. Кроме того, полезно построить треугольник ABC и найти все указанные точки, чтобы наглядно представить себе ситуацию.

Упражнение: В треугольнике ABC провели высоты AD, BE и CF. Докажите, что точка пересечения высот (точка ортоцентра) H лежит на прямой MN, где M - середина отрезка DE, а N - середина отрезка DF.