Докажите параллельность плоскости EFK и плоскости ABC в тетраэдре DABC, где на ребрах DA, DB и DC отмечены точки E

Название: Доказательство параллельности плоскостей EFK и ABC в тетраэдре DABC.

Описание:
Для начала разберемся с понятием параллельности плоскостей. Плоскости считаются параллельными, если их нормали векторно коллинеарны, то есть когда векторы нормали плоскостей параллельны друг другу.

Дано, что на ребрах тетраэдра DABC, отмечены точки E, F и K соответственно, так что выражения DE/DA, DF/DB и DK/DC равны.
Рассмотрим плоскость EFK. Пусть вектор AF будет нормалью к плоскости EFK, вектор и направлен из точки A в точку F. Учитывая, что DF/DB=1, точка F делит ребро DB пополам.

Теперь докажем, что векторы нормали плоскостей EFK и ABC коллинеарны. Вычислим эти векторы:
Вектор, направленный из точки D в точку А, можно представить как вектор AD. Также, вектор AF можно представить как вектор AB + вектор BF.

Теперь преобразуем DF/DB: DF/DB = (AD + AF - AF - AB)/(AD + AF - AB - AF) = (AD + AF - AB - 1/2 AB - 1/2 AB)/(AD + AF - AB - AB - AF) = 1/2.

Таким образом, мы получили, что DF/DB = 1/2, что означает, что векторы нормали плоскостей EFK и ABC коллинеарны. Следовательно, плоскости EFK и ABC являются параллельными.

Пример использования:
Задача: Дано: DABC - тетраэдр, на ребрах DA, DB и DC отмечены точки E, F и K соответственно, так что DE/DA=DF/DB=DK/DC. Докажите параллельность плоскости EFK и плоскости ABC.

Совет:
Чтобы лучше понять доказательство параллельности плоскостей, можно визуализировать ситуацию и нарисовать тетраэдр DABC с отмеченными точками E, F и K. Это поможет вам следить за каждым шагом и лучше представить себе геометрический контекст.

Задание для закрепления:
Дано: Тетраэдр XYZT, в котором на ребрах XT, YT и ZT отмечены точки A, B и C соответственно, так что \frac{AT}{AX} = \frac{BT}{BY} = \frac{CT}{CZ}. Докажите параллельность плоскости ABC и плоскости XYZ.