Докажите, что все вершины данного треугольника находятся на одинаковом расстоянии от прямой, проведенной через середины

Задача 1: Докажите, что все вершины данного треугольника находятся на одинаковом расстоянии от прямой, проведенной через середины двух его сторон.

Описание:
Предположим, что даны точки A, B и C - вершины треугольника, а M и N - середины сторон AB и BC соответственно. Требуется доказать, что расстояния от точек A, B и C до прямой MN равны.

Для доказательства этого факта мы можем использовать свойство серединного перпендикуляра. Это свойство гласит, что серединный перпендикуляр к отрезку является перпендикуляром к этому отрезку и проходит через его середину. В нашем случае, MN является серединным перпендикуляром к отрезку AC, так как MN проходит через его середину M.

Теперь, чтобы доказать, что все вершины треугольника находятся на одинаковом расстоянии от прямой MN, нам нужно показать, что AM = BM и CM = BM.

Поскольку M - середина отрезка AB, мы можем сказать, что AM = MB. Аналогично, так как N - середина отрезка BC, мы можем сказать, что CM = BN.

Теперь у нас есть AM = MB и CM = BN. Из этого следует, что AM = MB = CM, что означает, что все вершины треугольника находятся на одинаковом расстоянии от прямой MN.

Например:
Предположим, что дан треугольник ABC, где A(2, 4), B(6, 8) и C(10, 4). Докажите, что все вершины треугольника находятся на одинаковом расстоянии от прямой, проведенной через середины двух его сторон.

Совет:
Чтобы лучше понять эту задачу, рекомендуется нарисовать треугольник ABC и прямую MN на координатной плоскости. Это поможет визуализировать понятие серединного перпендикуляра и легче увидеть, что все вершины треугольника находятся на одинаковом расстоянии от прямой MN.

Практика:
Нарисуйте треугольник ABC и прямую MN на координатной плоскости с вершинами A(0, 0), B(4, 0) и C(2, 4). Докажите, что все вершины треугольника находятся на одинаковом расстоянии от прямой, проведенной через середины двух его сторон.