Докажите, что в новом параллелограмме, образованном остальными четырьмя вершинами, также совпадает пара противоположных

Тема: Доказательство совпадения пары противоположных вершин в новом параллелограмме.

Инструкция:
Для доказательства совпадения пары противоположных вершин в новом параллелограмме, сформулируем следующую лемму:

Лемма: В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны.

Доказательство леммы: Пусть ABCD - параллелограмм. Проведем диагональ AC. Рассмотрим треугольники ABC и ACD.

В данных треугольниках:

1) Сторона AB равна стороне CD (по определению параллелограмма), и сторона BC равна стороне AD (по свойству параллельных прямых).

2) Угол ABC равен углу CDA (по свойству параллельных прямых), и угол BAC равен углу DAC (по вертикальным углам).

Таким образом, по двум сторонам и углу одного треугольника равным двум сторонам и углу другого треугольника, треугольники ABC и ACD подобны.

Из подобия треугольников следует, что соответствующие стороны равны, включая стороны диагонали AC.

Итак, в оригинальном параллелограмме ABCD пара противоположных вершин A и C совпадает.

Теперь, в новом параллелограмме, образованном остальными четырьмя вершинами, по лемме также совпадает пара противоположных вершин.

Пример:
Задача: В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Докажите, что вершины A и C также совпадают в новом параллелограмме, образованном остальными двумя вершинами.

Совет:
Для лучшего понимания этой темы рекомендуется внимательно ознакомиться с определением параллелограмма, а также с основными свойствами его сторон, углов и диагоналей.

Дополнительное задание:
1) В параллелограмме ABCD диагональ BD пересекает сторону AC в точке E. Докажите, что AE = EC.
2) В параллелограмме ABCD проведены диагонали AC и BD, которые пересекаются в точке E. Докажите, что треугольники ABE и CDE равны.