Докажите, что угол ABC больше, если медиана BM треугольника ABC меньше половины его сторон AB

Содержание вопроса: Доказательство угла ABC больше при меньшей медиане BM

Описание: Чтобы доказать, что угол ABC больше при меньшей медиане BM, воспользуемся свойствами треугольника и медианы.

1. Пусть треугольник ABC имеет стороны AB, BC и AC, а точка M - середина стороны AC (то есть точка M лежит на медиане BM).
2. Для доказательства неравенства углов в треугольнике ABC, рассмотрим противоположные углы BAC и BCA.
3. Пусть α - угол BAC, а β - угол BCA.
4. Так как BM - медиана треугольника ABC, она делит сторону AC пополам. Значит, AM = MC.
5. В треугольнике AMB мы имеем равенство углов AMB и CMB. Так как AM = MC, то эти треугольники равны по двум сторонам и общему углу.
6. Аналогично, в треугольнике CMB мы имеем равенство углов CMB и BMA.
7. Следовательно, β + α/2 = α + β/2.
8. Выразим α и β относительно угла ABC. Заметим, что угол ABC = 180° - α - β.
9. Подставим значения α и β в уравнение из предыдущего шага: β + (180° - α - β)/2 = α + (180° - α - β)/2.
10. Упростим уравнение: 2β + 180° - α - β = 2α + 180° - α - β.
11. После упрощения получим: β = α, что означает, что углы BAC и BCA равны.
12. Но треугольник ABC - не может быть равнобедренным, так как медиана BM меньше половины стороны AB.
13. Следовательно, угол ABC должен быть больше, чем углы BAC и BCA.

Например: Пусть треугольник ABC имеет стороны AB = 10 см, BC = 6 см и AC = 8 см. Медиана BM равна 4 см. Докажите, что угол ABC больше.

Совет: Чтобы лучше понять доказательство данной теоремы, полезно нарисовать треугольник ABC и медиану BM на бумаге. Обратите внимание на равные треугольники и выражение углов через один угол ABC. Это поможет вам увидеть логику доказательства.

Задание для закрепления: В треугольнике ABC сторона AC равна 16 см, сторона AB равна 10 см, а медиана BM равна 8 см. Докажите, что угол ABC больше.