Доказательство PX=QX на биссектрисе угла
Докажите, что PX=QX, если точки M и N выбраны на биссектрисе угла ABC, P и Q - проекции M и N на лучи BA
Докажите, что PX=QX, если точки M и N выбраны на биссектрисе угла ABC, P и Q - проекции M и N на лучи BA и BC соответственно, а X - середина отрезка MN. В доказательстве можно использовать факт, что углы ∠MP′B и ∠BPX равны, а также то, что точка X является серединой отрезка MN и основание перпендикуляра, опущенного из точки X на прямую BA, обозначается через Y.
01.12.2023 08:04
Написать свой ответ:
Пояснение: Для доказательства того, что PX=QX, нам необходимо использовать данные из условия задачи. Давайте рассмотрим шаги этого доказательства:
1. Пусть M и N - точки на биссектрисе угла ABC. Обозначим углы ∠MP′B и ∠BPX как α и β соответственно.
2. Так как точка X является серединой отрезка MN, то MX=NX.
3. Отметим, что треугольник MBX и NXB являются равнобедренными треугольниками, так как углы α и β равны.
4. В равнобедренном треугольнике MBX, высота BX является одновременно и медианой, и биссектрисой.
5. Поскольку PX является проекцией точки M на луч BA, а QX является проекцией точки N на луч BC, то PX и QX перпендикулярны соответствующим сторонам треугольника MBX и NXB.
6. Из свойств равнобедренных треугольников следует, что PX=QX.
Таким образом, мы доказали, что PX=QX на биссектрисе угла ABC.
Например: В треугольнике ABC с углом B = 90° на биссектрисе угла ABC выбраны точки M и N. P и Q - проекции M и N на стороны треугольника соответственно. Докажите, что PX=QX.
Совет: Для лучшего понимания данной темы, рекомендуется хорошо изучить свойства равнобедренных треугольников и биссектрис. Также полезно визуализировать данную задачу на рисунке для более ясного представления взаимного расположения точек и линий.
Проверочное упражнение: В треугольнике ABC с углом A = 60° точки M и N выбраны на биссектрисе угла ABC. P и Q - проекции M и N на стороны треугольника соответственно. Если BM = 6 см и BN = 9 см, найдите длину отрезка PX.