Доказать, что точки, которые делят стороны квадрата в отношении 1:квадратному корню из 2:1, являются вершинами

Тема вопроса: Доказательство, что точки, делящие стороны квадрата в отношении 1:квадратному корню из 2:1, являются вершинами правильного восьмиугольника.

Описание:
Чтобы доказать, что точки, делящие стороны квадрата в таком отношении, образуют правильный восьмиугольник, давайте рассмотрим следующие шаги.

1. Пусть у нас есть квадрат ABCD со стороной a. Разделим каждую сторону на указанное отношение: AB будет равно 1, BC будет равно √2, а CD будет равно 1.
2. Обозначим точки деления сторон как E, F и G, где E и F - точки на стороне BC, а G - точка на стороне CD. Таким образом, BE = EF = FC и GD = 1.
3. Из-за того, что сторона BC имеет длину √2, мы можем использовать соотношение треугольников, чтобы найти EF. По теореме Пифагора применительно к прямоугольному треугольнику BCF получаем: EF^2 = BC^2 - BE^2.
Заменяя значения BC и BE, получаем: EF^2 = (√2)^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1.Следовательно, EF = 1.
4. Теперь у нас есть стороны AF, AG и EF, которые равны 1. Как известно, у правильного восьмиугольника все стороны равны. Таким образом, точки A, E, F и G являются вершинами правильного восьмиугольника.

Дополнительный материал:
Дан квадрат ABCD со стороной 6. Найдите координаты точек E, F и G, которые делят стороны квадрата в отношении 1:√2:1, чтобы доказать, что они образуют правильный восьмиугольник.

Совет:
Чтобы лучше понять и запомнить этот доказательство, нарисуйте квадрат и разделите его стороны на указанное отношение. Затем используйте геометрические методы, такие как теорема Пифагора и свойства правильного восьмиугольника, чтобы продемонстрировать, что точки образуют правильный восьмиугольник.

Упражнение:
Дан квадрат EFGH со стороной 10. Найдите координаты точек, которые делят стороны квадрата в отношении 1:квадратный корень из 2:1. Верно ли, что эти точки образуют правильный восьмиугольник? Поясните свой ответ.