Даны точки а(4; 6; –3), в(7; 3; 5), с(–5; –4; 0), d(3; 0; –5). Представьте их на декартовой системе координат. Найдите

Тема: Геометрия в трехмерном пространстве

Объяснение:
Для данной задачи мы имеем четыре точки a(4; 6; –3), в(7; 3; 5), с(–5; –4; 0), d(3; 0; –5). Для начала, давайте представим эти точки на декартовой системе координат. Точка a имеет координаты (4, 6, -3), точка b - (7, 3, 5), точка c - (-5, -4, 0), а точка d - (3, 0, -5).

Для решения задачи, нужно найти следующую информацию:

1) Координаты вектора ac: чтобы найти координаты вектора ac, нужно вычесть координаты точки a из координат точки с. Разность будет новым вектором ac. В данном случае, ac = (сx - ax, су - ay, cz - az) = (-5 - 4, -4 - 6, 0 - (-3)) = (-9, -10, 3).

2) Расстояние между точками b и а: чтобы найти расстояние между двумя точками, используем формулу расстояния между точками в трехмерном пространстве: d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²). В данном случае, d = √((7 - 4)² + (3 - 6)² + (5 - (-3))²) = √(3² + (-3)² + 8²) = √(9 + 9 + 64) = √82.

3) Координаты середины отрезка св: чтобы найти координаты середины отрезка между двумя точками, нужно найти среднее значение каждой координаты точек a и с. Середина отрезка будет иметь координаты ((ax + сx) / 2, (ay + cy) / 2, (az + cz) / 2). В данном случае, середина отрезка ab будет иметь координаты ((4 + 7) / 2, (6 + 3) / 2, (-3 + 5) / 2) = (11/2, 9/2, 1/2).

4) Вектор cb ^ ad: чтобы найти векторное произведение двух векторов, используем формулу: cb ^ ad = (cby * adz - cbz * ady, cbz * adx - cbx * adz, cbx * ady - cby * adx). В данном случае, cb ^ ad = ((-4 * (-5) - 0 * 7), (0 * 3 - (-5) * (-5)), (7 * 0 - (-4) * 3)) = (20, 25, 12).

5) Угол между векторами cb и ad: чтобы найти угол между двумя векторами, используем формулу: cosθ = (cb * ad) / (|cb| * |ad|), где cb * ad - скалярное произведение векторов, |cb| и |ad| - длины векторов cb и ad. В данном случае, cb * ad = (-4 * 3) + (0 * 0) + (7 * (-5)) = -12 - 35 = -47, |cb| = √((-4)² + 0² + 7²) = √16 + 0 + 49 = √65, а |ad| = √(3² + 0² + (-5)²) = √9 + 0 + 25 = √34. Таким образом, cosθ = -47 / (√65 * √34), и угол между векторами cb и ad будет равен arccos(-47 / (√65 * √34)).

6) (ca+db)^bc: в этом случае, чтобы найти результат, нужно сначала вычислить вектора ca = (-5 - 4, -4 - 6, 0 - (-3)) = (-9, -10, 3) и db = (3 - 7, 0 - 3, -5 - 5) = (-4, -3, -10), а затем сложить их: ca + db = (-9 + (-4), -10 + (-3), 3 + (-10)) = (-13, -13, -7). Затем вектор (-13, -13, -7) можно взять векторное произведение с вектором bc, а результат будет (bcx * (-13), bcy * (-13), bcz * (-7)).

Пример использования:
1) Координаты вектора ac = (-9, -10, 3).
2) Расстояние между точками b и а = √82.
3) Координаты середины отрезка ab = (11/2, 9/2, 1/2).
4) Вектор cb ^ ad = (20, 25, 12).
5) Угол между векторами cb и ad = arccos(-47 / (√65 * √34)).
6) (ca+db)^bc = (bcx * (-13), bcy * (-13), bcz * (-7)).

Совет: При решении задач, связанных с координатными точками и векторами, всегда полезно визуализировать их на декартовой системе координат. Это поможет вам лучше понять геометрическую суть задачи и работать с координатами точек и векторов более точно.

Упражнение: Представьте точки e(1; -2; 3), f(5; 0; 2), g(-3; 1; -4), h(0; 3; -1) на декартовой системе координат и найдите:
1) Координаты вектора eh.
2) Расстояние между точками f и g.
3) Координаты середины отрезка gf.
4) Вектор gf ^ he.
5) Угол между векторами gf и he.
6) (gh+ef)^fg.