Дано точки M(-2; 3; 7) і N(4; -11; -1). Будь ласка, знайдіть координати точки, яка є симетричною середині відрізка

Содержание: Симетричная середина в отношении плоскости

Инструкция:
Для решения этой задачи нам понадобится найти середину отрезка MN и затем найти симметричную точку относительно плоскости, которая проходит через середину отрезка MN.

1. Найдем середину отрезка MN.
Для этого нужно просуммировать координаты точек M и N и разделить результат на 2 по каждой координате.
Координаты середины отрезка MN будут:
x = (-2 + 4) / 2 = 1,
y = (3 + (-11)) / 2 = -4,
z = (7 + (-1)) / 2 = 3.

2. Найдем уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка MN.
Плоскость можно задать уравнением ax + by + cz + d = 0, где (a, b, c) - нормаль к плоскости.
Нам известны координаты точки, лежащей на плоскости (середина отрезка MN), поэтому можем подставить значения в уравнение и найти d.
1 * 1 + (-4) * b + 3 * c + d = 0.
Так как плоскость проходит через точку (1, -4, 3), получим уравнение: b - 3c + d = -1.

3. Найдем симметричную точку относительно плоскости.
Чтобы найти симметричную точку P относительно плоскости, нужно первоначальную точку N отразить по отношению к плоскости.
Это можно сделать, заменив в уравнении плоскости координаты N на координаты P и решив систему уравнений.
Заметим, что координаты точки P будут иметь вид: (4, -11, -1) + λ(2, -8, -4), где λ - параметр.
Подставляем координаты точки P в уравнение плоскости:
2 - 3(-8) + λ(-4) + d = -1.
26 + 4λ + d = -1.

Теперь решаем систему:
b - 3c + d = -1
26 + 4λ + d = -1

Получаем: b = 3, c = 9, d = 2.
Координаты симметричной точки P относительно плоскости равны: (4, -11, -1) + λ(2, -8, -4).

Дополнительный материал:
Задание: Найдите координаты точки, являющейся симметричной середине отрезка MN относительно плоскости.
Ответ: Координаты точки равны (4, -11, -1) + λ(2, -8, -4), где λ - параметр.

Совет:
Для лучшего понимания задачи, можно нарисовать трехмерную координатную плоскость и отметить на ней точки M и N. Затем нарисовать плоскость, проходящую через середину отрезка MN, и найти симметричную точку P.

Задача на проверку:
Даны точки A(2; -3; 5) и B(-6; 8; -2). Найдите координаты точки, являющейся симметричной середине отрезка AB относительно плоскости.