Нахождение периметра параллелограмма
Чтобы найти периметр параллелограмма ABCD, воспользуемся данными о биссектрисе угла А, пересекающей сторону ВС в точке
Чтобы найти периметр параллелограмма ABCD, воспользуемся данными о биссектрисе угла А, пересекающей сторону ВС в точке М, а также о перпендикулярности отрезков АМ и DM. Опишем решение:
Поскольку АМ и DM перпендикулярны, то АМD - прямоугольный треугольник. Биссектриса угла А делит этот треугольник на два равных прямоугольных треугольника.
Пусть АМ = МD = х (так как треугольник АМD равнобедренный), тогда CD = 2х.
Из прямоугольного треугольника АМС получаем:
AC^2 = AM^2 + MC^2
AC^2 = x^2 + (14 - 2x)^2
AC^2 = x^2 + (196 - 56x + 4x^2)
AC^2 = 5x^2 - 56x + 196
Так как М – точка пересечения биссектрисы угла А и стороны ВС, то МС = MB и BC = 2MB.
Из прямоугольного треугольника MBC получаем:
BC^2 = MB^2 + MC^2
(2x)^2 = MB^2 + (14 - 2x)^2
4x^2 = MB^2 + (196 - 56x + 4x^2)
0 = MB^2 - 56x + 196
Таким образом, получили систему уравнений:
AC^2 = 5x^2 - 56x + 196
0 = MB^2 - 56x + 196
Решая эту систему уравнений, найдем значения x, MB, AC.
Периметр параллелограмма будет равен AC + AB + CD + BC.
Теперь запишем решение и ответ без описания действий, представленных выше.
Поскольку АМ и DM перпендикулярны, то АМD - прямоугольный треугольник. Биссектриса угла А делит этот треугольник на два равных прямоугольных треугольника.
Пусть АМ = МD = х (так как треугольник АМD равнобедренный), тогда CD = 2х.
Из прямоугольного треугольника АМС получаем:
AC^2 = AM^2 + MC^2
AC^2 = x^2 + (14 - 2x)^2
AC^2 = x^2 + (196 - 56x + 4x^2)
AC^2 = 5x^2 - 56x + 196
Так как М – точка пересечения биссектрисы угла А и стороны ВС, то МС = MB и BC = 2MB.
Из прямоугольного треугольника MBC получаем:
BC^2 = MB^2 + MC^2
(2x)^2 = MB^2 + (14 - 2x)^2
4x^2 = MB^2 + (196 - 56x + 4x^2)
0 = MB^2 - 56x + 196
Таким образом, получили систему уравнений:
AC^2 = 5x^2 - 56x + 196
0 = MB^2 - 56x + 196
Решая эту систему уравнений, найдем значения x, MB, AC.
Периметр параллелограмма будет равен AC + AB + CD + BC.
Теперь запишем решение и ответ без описания действий, представленных выше.
11.02.2024 07:05
Написать свой ответ:
Пояснение: Чтобы найти периметр параллелограмма ABCD, воспользуемся данными о биссектрисе угла А, пересекающей сторону ВС в точке М, а также о перпендикулярности отрезков АМ и DM. Для начала, заметим, что треугольник AMD является равнобедренным, так как его боковые стороны AM и DM равны.
Воспользуемся фактом, что биссектриса угла А делит треугольник AMD на два равных прямоугольных треугольника. Пусть сторона AM равна х (так как треугольник AMD равнобедренный), тогда сторона CD будет равна 2х.
Для нахождения стороны AC, воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника AMC:
AC^2 = AM^2 + MC^2
Вставив значения, получим:
AC^2 = x^2 + (14 - 2x)^2
Раскроем скобки:
AC^2 = x^2 + (196 - 56x + 4x^2)
Упростим:
AC^2 = 5x^2 - 56x + 196
Извлечем корень из обеих сторон:
AC = sqrt(5x^2 - 56x + 196)
Таким образом, периметр параллелограмма ABCD будет равен:
P = 2(AC + CD) = 2(sqrt(5x^2 - 56x + 196) + 2x)
Например: Пусть x = 3. Тогда периметр параллелограмма ABCD будет:
P = 2(sqrt(5(3)^2 - 56(3) + 196) + 2(3)) = 2(sqrt(185) + 6) ≈ 38.881
Совет: При решении задач на параллелограммы, всегда используйте известные свойства фигуры, такие как равенство сторон и углов, перпендикулярность отрезков и наличие биссектрисы. Также, внимательно изучите формулы для нахождения периметра и площади параллелограмма.
Проверочное упражнение: Найдите периметр параллелограмма ABCD, если сторона CD равна 10 см, биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке M, и AM = MD = 5 см.