Чи можна підтвердити, що трикутник з координатами А(4, 0, 7) В(0, 8, -1) С(2, -2, 3) є прямокутним? Яка є площа цього

Содержание: Геометрия в трехмерном пространстве

Пояснение: Для определения прямоугольности треугольника с заданными координатами, мы можем воспользоваться свойством перпендикулярности векторов. Если два из трех векторов, образованных сторонами треугольника, будут перпендикулярными, то треугольник будет прямоугольным.

Для начала, найдем векторы, образованные сторонами треугольника:

вектор AB = B - A = (0, 8, -1) - (4, 0, 7) = (-4, 8, -8)

вектор AC = C - A = (2, -2, 3) - (4, 0, 7) = (-2, -2, -4)

вектор BC = C - B = (2, -2, 3) - (0, 8, -1) = (2, -10, 4)

Теперь проверим их перпендикулярность, вычислив их скалярное произведение:

(AB · AC) = (-4, 8, -8) · (-2, -2, -4) = -8 -16 + 32 = 8

(AB · BC) = (-4, 8, -8) · (2, -10, 4) = -8 - 80 - 32 = -120

(AC · BC) = (-2, -2, -4) · (2, -10, 4) = -4 + 20 - 16 = 0

Таким образом, мы видим, что (AB · AC) ≠ 0, что означает, что треугольник ABC не является прямоугольным.

Для определения площади треугольника, используем формулу герона:

Площадь треугольника ABC = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))

где p - полупериметр треугольника, a, b, c - длины сторон треугольника.

a = |AB| = √((-4)^2 + 8^2 + (-8)^2) = √256 = 16

b = |AC| = √((-2)^2 + (-2)^2 + (-4)^2) = √24 = 2√6

c = |BC| = √(2^2 + (-10)^2 + 4^2) = √120 = 2√30

p = (a + b + c) / 2 = (16 + 2√6 + 2√30) / 2 = 8 + √6 + √30

Таким образом, площадь треугольника ABC равна:

Площадь треугольника ABC = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)) = √((8 + √6 + √30) * (8 + √6 + √30 - 16) * (8 + √6 + √30 - 2√6) * (8 + √6 + √30 - 2√30))

Пример: Решите треугольник ABC с координатами A(4, 0, 7), B(0, 8, -1) и C(2, -2, 3) и определите, является ли он прямоугольным. Найдите также его площадь.

Совет: Для выполнения этого задания, убедитесь, что вы правильно находите векторы, а затем используйте свойства перпендикулярности векторов и формулу герона для решения поставленных задач.

Задание для закрепления: Дан треугольник со сторонами длиной a = 5, b = 6 и c = 7. Определите, является ли этот треугольник прямоугольным. Вычислите площадь этого треугольника.