Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке К. Если ВК равно 14, DK равно 10

Тема: Решение задачи про вписанный четырехугольник

Объяснение:
Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать свойства вписанных четырехугольников и пересекающихся хорд.

Первое свойство, которое мы будем использовать, состоит в том, что вписанный четырехугольник имеет противоположные углы, дополнительные друг другу. Таким образом, ∠A = ∠C и ∠B = ∠D.

Второе свойство, которое мы будем использовать, гласит, что произведение двух хорд, пересекающихся внутри окружности, равно произведению отрезков этих хорд. В данном случае, AB × CD = KB × KD.

Третье свойство, которое мы будем использовать, утверждает, что отрезок, проведенный от центра окружности до точки пересечения двух хорд, делит эти хорды пополам. Иначе говоря, KB = KD.

Теперь мы можем приступить к решению задачи.

Шаг 1: У нас есть равенство ВК = KD = 14 и DK = 10. Используя третье свойство, мы можем сделать вывод о том, что KB = KD = 14.

Шаг 2: Теперь нам нужно найти длину отрезка AB. Используя второе свойство, мы можем записать уравнение AB × CD = KB × KD. Подставляя известные значения, получаем AB × 21 = 14 × 10.

Шаг 3: Решаем полученное уравнение: AB × 21 = 140. Делим обе стороны на 21: AB = 140 ÷ 21 ≈ 6.6667.

Шаг 4: Теперь нам нужно найти AD. Используя первое свойство, мы знаем, что ∠A = ∠C. Таким образом, прямоугольные треугольники AKC и DKC равны по принципу "подобия треугольников".

Шаг 5: В основе принципа "подобия треугольников" лежит тот факт, что соответствующие стороны треугольников подобны и пропорциональны. Зная, что AK = BK + AB и DK = DK, мы можем записать следующее уравнение (пропорциональность сторон треугольников): (BK + AB) / DK = AB / AK.

Шаг 6: Подставляем известные значения и решаем полученное уравнение: (14 + 6.6667) / 10 = 6.6667 / AK.

Шаг 7: Решаем полученное уравнение: 20.6667 / 10 ≈ 6.6667 / AK. Получаем AK ≈ 3.23077.

Шаг 8: Теперь мы можем найти AD, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике ADK. Так как DK = 10 и AK ≈ 3.23077, мы можем записать следующее уравнение: AD^2 = AK^2 + DK^2.

Шаг 9: Решаем полученное уравнение: AD^2 = (3.23077)^2 + 10^2 ≈ 15.113946.

Шаг 10: Наконец, извлекаем корень из обеих сторон уравнения: AD = √15.113946 ≈ 3.882.

Итак, длина AD примерно равна 3.882.

Совет: При решении подобных задач постарайтесь всегда использовать свойства и теоремы, а также внимательно анализируйте данные, чтобы правильно применить эти свойства.

Упражнение: Пусть DK = 12, ВК = 16 и ВС = 24. Какова будет длина AD?