Чему равна площадь треугольника ABC, если он вписан в окружность радиусом r и центром в точке о, как показано

Тема: Площадь вписанного треугольника
Пояснение: Чтобы определить площадь вписанного треугольника ABC, мы можем воспользоваться формулой для площади треугольника: S = 0.5 * a * b * sin(C), где a и b - длины сторон треугольника, C - угол между этими сторонами. В данном случае, треугольник ABC вписан в окружность с радиусом r и центром в точке О.

Очевидно, что радиус окружности является радиусом описанной окружности треугольника ABC. Таким образом, сторона треугольника, которая проходит через точку O (диагональ), является диаметром окружности. Пусть длина этой диагонали равна d. Тогда она равна 2r.

Так как треугольник ABC вписан в окружность, то мы можем сказать, что его углы при вершинах A, B и C являются прямыми углами (90 градусов). Теперь нам нужно найти длины оставшихся двух сторон треугольника.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ABC с гипотенузой d и катетами a и b, мы можем записать следующее: d^2 = a^2 + b^2.

Поскольку диаметр равен 2r и оба катета равны r (поскольку это радиус окружности), мы можем подставить значения и получить следующее: (2r)^2 = r^2 + r^2.

Упрощая это выражение, мы получаем: 4r^2 = 2r^2.

Теперь мы можем найти значения диагонали: d = 2r и сторон треугольника a и b: a = r и b = r.

Подставим эти значения в формулу для площади треугольника: S = 0.5 * r * r * sin(90°).

Поскольку синус 90 градусов равен 1, формула упрощается до: S = 0.5 * r * r.

Таким образом, площадь вписанного треугольника ABC равна половине произведения квадрата радиуса окружности на сам радиус: S = 0.5 * r * r.

Пример использования: Площадь треугольника ABC, вписанного в окружность с радиусом 5, равна: S = 0.5 * 5 * 5 = 12.5.

Совет: Для лучшего понимания этой темы рекомендуется изучить теорему Пифагора и связь между радиусом окружности и диагоналями прямоугольного треугольника.

Упражнение: Чему равна площадь треугольника DEF, вписанного в окружность радиусом 6 с центром в точке G? Диагональ треугольника DEF равна 12.