Билет №1 1) Как можно определить многоугольник? Что такое вершины, стороны, диагонали и периметр многоугольника?

Билет №1:
1) Как можно определить многоугольник? Что такое вершины, стороны, диагонали и периметр многоугольника? Напишите формулу, которая выражает сумму углов выпуклого многоугольника.
Определение: Многоугольник - это фигура, состоящая из трех или более сторон и углов.
Вершина многоугольника - это точка пересечения двух или более сторон многоугольника.
Сторона многоугольника - это отрезок, соединяющий две вершины многоугольника.
Диагональ многоугольника - это отрезок, соединяющий две невыбранные вершины многоугольника.
Периметр многоугольника - это сумма длин всех его сторон.
Формула, которая выражает сумму углов выпуклого многоугольника, называется формулой суммы углов в многоугольнике и имеет вид: Сумма углов = (n - 2) * 180°, где n - количество сторон многоугольника.
Доп. материал:
У нас есть выпуклый пятиугольник. Найдите сумму его углов.
Решение: По формуле суммы углов в многоугольнике знаем, что сумма углов пятиугольника равна (5 - 2) * 180° = 540°.
Совет: Для лучшего понимания многоугольников, рисуйте их на бумаге и отмечайте вершины, стороны и углы.

2) Как можно доказать теорему о средней линии треугольника?
Доказательство теоремы о средней линии треугольника:
Для доказательства возьмем треугольник ABC. Проведем медиану AM из вершины A до середины стороны BC. Предположим, что треугольник ABC неравнобедренный, так как в равнобедренном треугольнике теорема выполняется сразу.
Пусть точка M - середина стороны BC, AM - медиана.
Возьмем точку D на стороне AB и точку E на стороне AC.
Так как AD = DB и AE = EC (по построению точек D и E) и AM - медиана, то можно утверждать, что DM = MB и EM = MC (по свойству медианы).
Также из равенства углов AMB и AMC следует, что DM = ME (по свойству углов при основании равнобедренного треугольника).
Так как AM - медиана, DM = ME и BM = MC, то DMEC - параллелограмм, так как противоположные стороны в нем равны и параллельны.
Следовательно, ME || AB и MC || AB.
Но из параллельности DE и BC следует, что ME || BC и MC || BC.
Следовательно, BC и DE - параллельны.

3) На окружности с центром в точке O и радиусом OB, хорда AC пересекает точку D и перпендикулярна ей. Как найти длину хорды AC, если известно, что BD = 1 см и радиус окружности равен 5 см?
Хорда AC - это отрезок, соединяющий две точки на окружности.
Из свойства ортогональной хорды можно сказать, что (AD * CD) = (BD * BD).
По условию BD = 1 см. Радиус окружности OB = 5 см.
Обозначим длину хорды AC как x.
Тогда (AD * CD) = (1 * 1) = 1.
Также, по теореме Пифагора, можно сказать, что (AD² + OD²) = (OA²).
Известно, что OD = OB = 5 см, поэтому (AD² + 5²) = (5²).
Это уравнение может быть переписано как (AD² + 25) = 25.
Отсюда следует, что AD² = 0.
Таким образом, AD = 0.
Так как (AD * CD) равно 1, то CD = 1/0 = ∞.
Поэтому длина хорды AC не может быть определена.

4) Периметр некоторого прямоугольника равен 56, а его диагональ равна 20. Как найти площадь этого прямоугольника?
Пусть стороны прямоугольника равны a и b, а его диагональ равна d.
Известно, что периметр равен 2(a + b) = 56.
Отсюда следует, что a + b = 28.
Также, из свойства прямоугольника вида: диагональ d = √(a² + b²), можно получить уравнение: √(a² + b²) = 20.
Возводя оба равенства в квадрат, получаем систему уравнений:
(a + b)² = (28)² и a² + b² = (20)².
Раскрывая скобки в первом уравнении, получаем:
a² + 2ab + b² = 784.
Вычитая из этого уравнения второе, получаем:
2ab = 784 - 400 = 384.
Делим обе части на 2, получаем:
ab = 192.
Известно, что площадь прямоугольника равна S = ab.
Подставляя значение ab, получаем:
S = 192.

Билет №2:
1) Что такое параллелограмм? Какие свойства и формулы с ним связаны?
Определение: Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны.
Свойства параллелограмма:
- Противоположные стороны параллельны.
- Противоположные стороны равны.
- Противоположные углы равны.
- Сумма углов параллелограмма равна 360°.
Формулы, связанные с параллелограммом:
- Площадь параллелограмма можно вычислить, умножив длину одной стороны на высоту, опущенную на эту сторону.
- Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме длин его сторон.
- Диагонали параллелограмма делятся пополам, и их точка пересечения является центром симметрии параллелограмма.
- Диагонали параллелограмма равны по длине и делят его на два равных треугольника.

Доп. материал:
У нас есть параллелограмм ABCD со сторонами AB = 6 см и BC = 8 см. Найдите его площадь и периметр.
Решение:
Площадь параллелограмма равна площади прямоугольника с такими же сторонами, то есть S = AB * BC = 6 см * 8 см = 48 см².
Периметр параллелограмма равен сумме длин его сторон, то есть P = 2(AB + BC) = 2(6 см + 8 см) = 28 см.

Совет: Для лучшего понимания параллелограммов, рисуйте их на бумаге и отмечайте стороны и углы.