а) Необходимо подтвердить параллельность отрезка MN и плоскости α. б) Найти длину отрезка MN при известной длине

Параллельность отрезка и плоскости:
Чтобы подтвердить параллельность отрезка MN и плоскости α, мы должны проверить, что вектор, направленный вдоль отрезка MN, перпендикулярен нормали плоскости α.

Пусть точка M(x₁, y₁, z₁) принадлежит отрезку MN, а точка N(x₂, y₂, z₂) - другая точка на этом отрезке.

Вектор, направленный вдоль отрезка MN, равен:

MN = N - M = (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁)

Пусть нормаль плоскости α задана вектором (a, b, c).

Тогда условие перпендикулярности вектора отрезка MN и нормали плоскости α можно записать в виде:

a(x₂ - x₁) + b(y₂ - y₁) + c(z₂ - z₁) = 0

Если это уравнение выполняется, то отрезок MN параллелен плоскости α.

Например:
Пусть у нас есть отрезок MN с точками M(2, 3, 4) и N(6, 7, 8), и плоскость α с нормалью (1, 1, 1).

Мы можем проверить параллельность, подставив значения в уравнение перпендикулярности:

1(6 - 2) + 1(7 - 3) + 1(8 - 4) = 4 + 4 + 4 = 12 ≠ 0

Таким образом, отрезок MN не параллелен плоскости α.

Совет:
Параллельность отрезка и плоскости можно установить, проведя параллельные отрезку прямые в плоскости и сравнив их направления.

Закрепляющее упражнение:
Дан отрезок MN с точками M(1, 2, 3) и N(4, 5, 6). Найти нормаль плоскости α так, чтобы отрезок MN был параллелен этой плоскости.