а) Найти координаты центра и радиуса сферы, заданной уравнением: x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 6y = 36. б) Найти значение

Тема урока: Сферы в трехмерном пространстве

Описание:
а) Чтобы найти координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 6y = 36, нам понадобится привести уравнение в каноническую форму. Для этого мы перенесем все слагаемые с x, y и z на одну сторону уравнения и завершим квадраты.

x^2 - 4x + y^2 + 6y + z^2 = 36

Теперь добавим и вычтем недостающие слагаемые внутри скобок в квадратах x и y:

(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) + z^2 = 36 + 4 + 9

Это можно переписать как:

(x - 2)^2 + (y + 3)^2 + z^2 = 49

Так как уравнение имеет форму (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2, мы можем сказать, что координаты центра сферы равны (2, -3, 0), а радиус равен √49 = 7.

б) Чтобы найти значение m, при котором точки a(m, -3, 0) и b(5, -1, m-1) принадлежат этой сфере, мы подставим координаты этих точек в уравнение сферы и решим полученное уравнение:

(m - 2)^2 + (-3 + 3)^2 + (0 - 0)^2 = 49

(m - 2)^2 = 49

m - 2 = ±7

m = 2 ± 7

Итак, значения m, при которых точки a и b принадлежат этой сфере, равны m = 9 и m = -5.

Пример:
а) Координаты центра сферы: (2, -3, 0), радиус: 7.
б) Значения m: 9 и -5.

Совет:
Для лучшего понимания сфер и их уравнений, рекомендуется ознакомиться с алгеброй и геометрией в трехмерном пространстве. Понимание преобразования уравнения сферы в каноническую форму также может быть полезным.

Проверочное упражнение:
Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением: x^2 + y^2 + z^2 + 10x - 8y - 4z + 26 = 0. Какие точки принадлежат этой сфере, если ее радиус равен 5?