42. а) Наклоненная к прямоугольному параллелепипеду с квадратным основанием диагональ образует угол 60°. Какой будет

Тема: Тригонометрические функции и углы между диагоналями прямоугольного параллелепипеда.

Разъяснение:
а) Для решения этой задачи нам потребуется знание соотношений между тригонометрическими функциями и углами прямоугольного треугольника.

У нас имеется прямоугольный треугольник, в котором один из углов равен 60°. Противолежащий этому углу катет равен длине диагонали прямоугольного параллелепипеда. Требуется найти синус угла между диагональю и одной из боковых граней параллелепипеда.

Синус угла в прямоугольном треугольнике выражается как отношение противолежащего катета к гипотенузе: sin(θ) = противолежащий катет / гипотенуза.

В данной задаче противолежащий катет равен длине диагонали, гипотенуза равна стороне параллелепипеда. Таким образом, синус угла между диагональю и боковой гранью параллелепипеда равен длине диагонали / длина стороны параллелепипеда.

б) Для решения этой задачи мы также будем использовать тригонометрические функции и соотношения между углами в прямоугольном треугольнике.

У нас имеется прямоугольный треугольник, в котором один из углов равен 30°. Требуется найти угол между диагональю и плоскостью основания параллелепипеда.

В прямоугольном треугольнике угол между диагональю и плоскостью основания является противолежащим углом к углу 30°.

Поскольку сумма углов в треугольнике равна 180°, то второй угол треугольника равен 180° - 90° - 30° = 60°.

Таким образом, угол между диагональю и плоскостью основания параллелепипеда равен 60°.

Доп. материал:
а) Синус угла между диагональю и боковой гранью параллелепипеда равен длине диагонали / длина стороны параллелепипеда. Если длина диагонали равна 10 см, а длина стороны параллелепипеда равна 4 см, то синус этого угла равен 10 см / 4 см = 2.5.

б) Угол между диагональю и плоскостью основания параллелепипеда равен 60°.

Совет: Для лучшего понимания тригонометрических функций и углов в прямоугольных треугольниках рекомендуется изучить таблицы значений тригонометрических функций, а также примеры решения задач по тригонометрии.

Практика:
Наклоненная к прямоугольному параллелепипеду с квадратным основанием диагональ образует угол 45°. Какой будет синус угла между этой диагональю и одной из боковых граней параллелепипеда? Сторона параллелепипеда равна 6 см.

Тема занятия: Тригонометрия.

Пояснение:
а) Для решения этой задачи нужно применить понятие синуса угла. Пусть катет равен стороне квадрата в основании параллелепипеда, а гипотенуза -- диагональ фигуры, образующая угол 60° с боковой гранью. Из геометрических соображений можно установить, что в прямоугольном треугольнике со сторонами 1 и 2 гипотенуза равна sqrt(5), по теореме Пифагора. Тогда синус угла между этой диагональю и одной из боковых граней параллелепипеда можно рассчитать, разделив катет 1 на гипотенузу sqrt(5): sin(60°) = 1/sqrt(5) = sqrt(5)/5.

б) В данной задаче также требуется использовать тригонометрию. Представим, что прямоугольный параллелепипед лежит на плоскости основания, а его диагональ образует угол 30° со стороной. Мы можем расположить прямоугольный треугольник со сторонами 1 и 2 так, чтобы его гипотенуза равнялась диагонали основания. Используя определение косинуса угла, можно найти значение косинуса между этой диагональю и плоскостью основания: cos(30°) = 1/2.

Пример:
а) Для нахождения синуса угла между диагональю и боковой гранью можно воспользоваться формулой: sin(60°) = sqrt(5)/5.

б) Чтобы найти косинус угла между диагональю и плоскостью основания, нужно применить формулу: cos(30°) = 1/2.

Совет: При решении задач по тригонометрии полезно использовать геометрические представления и применять соответствующие тригонометрические функции.

Задача для проверки:
а) Наклоненная к параллелепипеду диагональ образует угол 45°. Какой будет синус угла между этой диагональю и одной из боковых граней параллелепипеда?
б) Одна из диагоналей прямоугольного параллелепипеда образует угол 60° со стороной параллелепипеда. Какой будет косинус угла между этой диагональю и плоскостью основания параллелепипеда?