272. a) Хорды AB и CD пересекаются в точке М на окружности таким образом, что CM = MD. Если AM = 8 см и MB

Предмет вопроса: Геометрия окружности

Разъяснение:
a) Для решения этой задачи воспользуемся свойством хорд, пересекающихся на окружности.
Используя свойство пересекающихся хорд, можем вывести следующее соотношение: MA * MB = MC * MD.
У нас дано, что MA = 8 см и MB = 2 см, а также из условия задачи следует, что CM = MD.
Подставим все значения в соотношение и получим: 8 * 2 = CM * CM.
Упростив, получаем CM * CM = 16, откуда CM = 4 см.
Теперь у нас есть значение CM и длины отрезков AM и MB. Можем записать соотношение длин хорд: AM/MB = 3/8.
Подставим известные значения: 8/2 = 3/8, откуда 16 = 3 * 2 * 8/1, и, следовательно, другая хорда равна 48 см.

b) Чтобы найти острый угол между хордами в точке M, воспользуемся теоремой о центральных углах.
Центральный угол, соответствующий дуге AD, равен в два раза больше острого угла между хордами в точке M.
Из условия задачи следует, что длина хорды AB равна 15 см, а также известны длины CM (9 см), MD (4 см) и отрезка AD (11 см).
Используя теорему о центральных углах, можно записать следующее соотношение:
Острый угол в точке M = (Длина хорды AB - Длина хорды CD) / 2 * Радиус окружности.
Подставим известные значения и рассчитаем:
Острый угол = (15 - CM - MD) / 2 * Радиус окружности = (15 - 9 - 4) / 2 * Радиус окружности = 2 / 2 * Радиус окружности = Радианное значение.

Демонстрация:
a) Найдите длину другой хорды, которая разделяет точку пересечения на отрезки длиной 12 см и 18 см, а ее соотношение равно 3:8.
b) Найдите острый угол между хордами AB и CD в точке пересечения M.

Совет:
Для эффективного решения геометрических задач окружностей, важно понимать свойства хорд и углов, а также уметь применять соответствующие теоремы. Постарайтесь визуализировать задачу, рисуя схематические картинки или окружности. Также будьте внимательны при чтении условия задачи и записи данных, чтобы не пропустить важную информацию.

Дополнительное упражнение:
Для данной окружности с диаметром 12 см найдите:
a) Длину хорды, перпендикулярной диаметру и находящейся на расстоянии 5 см от центра окружности.
b) Радиус окружности, если известно, что длина хорды, параллельной диаметру и находящейся на расстоянии 2 см от центра, равна 8 см.

Предмет вопроса: Геометрия окружности

Пояснение:
a) Для решения данной задачи, воспользуемся теоремой о перпендикулярности хорд. Известно, что CM = MD. Также, из условия задачи, известны длины отрезков AM и MB, а также их отношение. Пусть хорда MN разделяет точку пересечения М на отрезки длиной 12 см и 18 см. Обозначим длину MN как х. Исходя из соотношения 3:8, можно записать уравнение: (8:3)х + (8:8)х = 12 + 18. Решив это уравнение, найдем длину хорды MN.

b) Для решения второй задачи воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах окружности. Из условия задачи известны длины хорд AB, CM, MD, а также расстояние между точками A и D. Пусть угол AМD обозначим как α. Зная длины сторон треугольника, можно применить теорему косинусов, чтобы найти острый угол α между хордами AB и CD в точке пересечения М и точкой A или точкой D.

Демонстрация:
a) Найдите длину хорды MN, если AM = 8 см, MB = 2 см, отрезок MN разделяет точку пересечения М на отрезки длиной 12 см и 18 см, а их соотношение равно 3:8.

b) Найдите острый угол α между хордами AB и CD в точке пересечения М и точкой А или М и точкой D, если AB = 15 см, CM = 9 см, MD = 4 см, а расстояние между точками A и D равно 11 см.

Совет:
a) При решении задачи используйте концепцию пропорциональности и уравнение суммы длин отрезков.

b) Для решения задачи воспользуйтесь тригонометрической теоремой косинусов и треугольниками в окружности.

Задание: В окружности ABCDE, пара хорд AB и CD пересекается в точке М. Длины хорд AB и CD равны 10 см и 8 см соответственно, а длина отрезка AM равна 6 см. Найдите длину отрезка MD.