2. Определите значение синуса угла между прямой, заданной параметрическими уравнениями: х = 1 + 2t, у = 1 + 2t, z

Предмет вопроса: Вычисление синуса угла между прямой и плоскостью.

Инструкция: Чтобы найти синус угла между прямой и плоскостью, нам необходимо воспользоваться формулой, которая использует скалярное произведение векторов.

1. Найдем вектор направления прямой. Для этого возьмем координаты второй точки и вычтем из них координаты первой точки:
Вектор направления прямой: a = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)

2. Найдем нормальный вектор плоскости. Возьмем коэффициенты при переменных x, y и z в уравнении плоскости и составим вектор:
Нормальный вектор плоскости: b = (1, 2, -2)

3. Вычислим скалярное произведение векторов a и b:
a · b = |a| ⋅ |b| ⋅ cos(θ), где θ - угол между векторами a и b.

4. Найдем модули векторов a и b:
|a| = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)
|b| = sqrt(1^2 + 2^2 + (-2)^2)

5. Подставим значения в формулу:
a · b = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2) ⋅ sqrt(1^2 + 2^2 + (-2)^2) ⋅ cos(θ)

6. Выразим cos(θ):
cos(θ) = (a · b) / (|a| ⋅ |b|)

7. Найдем синус угла:
sin(θ) = sqrt(1 - cos^2(θ))

Пример:
Для нашей задачи, значения точек: A(1, 1, 1) и B(1, 1, 0). Заменяя значения в формулу, получаем:
cos(θ) = ((1 - 1) + (1 - 1) + (0 - 1)) / (sqrt((1 - 1)^2 + (1 - 1)^2 + (0 - 1)^2) ⋅ sqrt(1^2 + 2^2 + (-2)^2))
sin(θ) = sqrt(1 - cos^2(θ))

Совет: Для облегчения понимания данного материала, рекомендуется ознакомиться с теорией на topic-url. Также, не забывайте проверять ваши вычисления с помощью калькулятора или программы для математических вычислений.

Дополнительное задание: Найдите синус угла между прямой, заданной параметрическими уравнениями: x = 2 + 3t, y = 1 + 2t, z = 3 - t, и плоскостью, заданной уравнением x + 2y - 3z = 6.