15a Определить объём тела вращения, полученного путем вращения прямоугольника со сторонами 3 см и 12 см вокруг прямой

Тема: Определение объема тела вращения

Объяснение: Чтобы решить данную задачу о вращении прямоугольника вокруг оси и найти объем тела, созданного этим вращением, мы будем использовать формулу для объема тела вращения. Формула для объема тела вращения вокруг оси представляется следующим образом: V = π * интеграл от a до b [радиус функции в квадрате] dx, где a и b - границы интегрирования (в данном случае это 0 и 3), а радиус функции представлен математическим выражением относительно переменной x.

В данной задаче у нас есть прямоугольник со сторонами 3 см и 12 см. Чтобы найти радиус функции, мы должны заметить, что вращение будет происходить вокруг прямой оси на расстоянии 3 см от большей стороны прямоугольника. Учитывая это, радиус функции будет равен расстоянию от центра прямоугольника до оси вращения плюс значение x. Таким образом, радиус функции будет равен 3 + x.

Теперь нам нужно интегрировать радиус функции в квадрате. Мы получаем интеграл от (3 + x)^2 dx. После интегрирования мы получаем (3 + x)^3 / 3.

Теперь, чтобы найти объем тела, мы умножаем результат интегрирования на π и находим интеграл от 0 до 3 [(3 + x)^3 / 3] dx, что дает нам окончательный ответ.

Демонстрация: Найдите объем тела, полученного вращением прямоугольника со сторонами 3 см и 12 см вокруг прямой оси, находящейся на расстоянии 3 см от большей стороны прямоугольника.

Совет: Для понимания задачи о вращении тела вокруг оси и нахождения объема, важно понять, какую формулу использовать и как найти радиус функции. Визуализация задачи может помочь лучше понять происходящее. Работайте внимательно и аккуратно при выполнении вычислений.

Проверочное упражнение: Найдите объем тела, полученного вращением прямоугольника со сторонами 4 см и 8 см вокруг прямой оси, находящейся на отдалении 2 см от меньшей стороны прямоугольника.