10.8. В окружности пересекаются две хорды AB и CD. Хорда AB делится пополам, а хорда CD, длиной 15 см, делится

Предмет вопроса: Разделение хорд в окружности

Разъяснение:

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать свойство проходящих через центр окружности хорд.

Давайте рассмотрим следующую схему:


По условию задачи, хорда AB делится пополам, а хорда CD делится на отрезки в отношении 1:4. Пусть точка E - середина хорды AB, а точка F - точка разделения хорды CD, ближайшая к хорде AB.

Мы знаем, что хорда AB делится пополам, поэтому AE = EB. А также хорда CD делится в отношении 1:4, поэтому FD = 4 * CF.

Нам также известна длина хорды CD, которая равна 15 см.

Для нахождения длины хорды AB, нам нужно использовать свойство хорд, согласно которому хорды, пересекающиеся внутри окружности, полярно пропорциональны их отдаленностям от центра окружности.

Поэтому мы можем записать следующее равенство:

FD * DE = CF * AE
4 * CF * DE = CF * AE

Учитывая, что AE = EB, можно записать:

4 * CF * DE = CF * (2 * CF)

Далее, упростив выражение, получаем:

4 * DE = 2 * CF
DE = 0.5 * CF

Теперь, мы можем записать следующее равенство:
0.5 * CF + CF = 15

Получаем:
1.5 * CF = 15
CF = 10

Таким образом, получаем, что отрезок CF равен 10 см. Поскольку хорда AB делится пополам, AE = EB, а значит, аналогично хорде CD, отношение длин отрезков DE и CF равно 1:4.

Получаем:
DE = 0.5 * CF
DE = 0.5 * 10
DE = 5

Таким образом, длина хорды AB равна 2 * DE = 2 * 5 = 10 см.

Демонстрация:

У нас есть окружность, в которой пересекаются две хорды AB и CD. Длина хорды CD составляет 15 см, при этом она делится на отрезки в соотношении 1:4. Найдите длину хорды AB.

Совет:

При решении задач, связанных с длинами хорд в окружности, помните о свойствах хорд, проходящих через центр окружности. Используйте пропорциональность отрезков и эквидистантность хорд.

Закрепляющее упражнение:

В окружности пересекаются две хорды AB и CD. Хорда AB делится пополам, а хорда CD делится на отрезки в отношении 1:3. Если длина хорды CD составляет 12 см, найдите длину хорды AB.