1. В треугольнике ABC ∠C = 90°, AB = 13 см, AC = 5 см. Определите: 1) значение синуса угла B; 2) значение тангенса угла

Задача 1:
Описание:
В прямоугольном треугольнике один угол равен 90°. Мы знаем, что сумма углов в треугольнике равна 180°. Таким образом, угол B = 180° - 90° - угол C. Сначала найдем угол C с помощью теоремы Пифагора: AC^2 + BC^2 = AB^2. Вставляя известные значения, мы получаем 5^2 + BC^2 = 13^2. Решая это уравнение, мы находим BC = 12 см. Затем мы можем найти синус угла B, используя отношение противоположного катета к гипотенузе. Таким образом, sin(B) = BC / AB = 12 / 13. Для значения тангенса угла A мы можем использовать отношение противоположного катета к прилежащему. Таким образом, tan(A) = AC / BC = 5 / 12.

Демонстрация:
1) Значение синуса угла B: sin(B) = 12/13 ≈ 0,923.
2) Значение тангенса угла A: tan(A) = 5/12 ≈ 0,417.

Совет:
Для лучшего понимания тригонометрических функций, рекомендуется знать основную тригонометрическую окружность и соотношения между углами и сторонами треугольника.

Задание для закрепления:
2) Дан прямоугольный треугольник XYZ, угол Z = 90°, XY = 15 см, YZ = 9 см. Определите: 1) значение косинуса угла Y; 2) значение тангенса угла X.

Задача 2:
Описание:
Для нахождения длины гипотенузы прямоугольного треугольника мы можем использовать теорему Пифагора. Согласно этой теореме, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Таким образом, BC^2 + AC^2 = AB^2. Вставив известные значения, мы получаем 6^2 + AC^2 = AB^2. Также нам дано значение косинуса угла B. Косинус угла B = BC / AB = 6 / AB. Подставляем значение косинуса и решаем уравнение для AB. Затем используем найденное значение AB в теореме Пифагора, чтобы найти длину гипотенузы.

Демонстрация:
Длина гипотенузы прямоугольного треугольника ABC: AB ≈ 6,71 см.

Совет:
Для более легкого решения задач, запомните основные формулы и теоремы о треугольниках, такие как теорема Пифагора и тригонометрические отношения.

Задание для закрепления:
3) В прямоугольном треугольнике PQR, угол P = 90°, PR = 10 см и значение синуса угла Q равно 0,8. Найдите длину гипотенузы треугольника и значение косинуса угла R.

Задача 3:
Описание:
Квадрат синуса угла плюс квадрат косинуса угла равен 1. Однако мы не можем непосредственно применить эту формулу, поскольку значения углов, заданных в градусах, нужно привести к радианам. Мы знаем, что угол 1 градус равен π/180 радиан. Таким образом, 37° = (37 * π) / 180 радиан и 45° = (45 * π) / 180 радиан. Мы можем заменить эти значения в формуле и вычислить результат.

Демонстрация:
Значение выражения sin^2 37° + cos^2 37° - sin^2 45°: ≈ 0.

Совет:
Хорошо понимайте, как применять тригонометрические тождества для перевода углов из градусов в радианы и обратно.

Задание для закрепления:
4) В прямоугольном треугольнике XYZ, угол X = 90°. Значение синуса угла Z равно 0,6. Определите значение косинуса угла Y и значение тангенса угла Y.

Задача 4:
Описание:
В равнобокой трапеции углы A и D являются смежными углами, поэтому их сумма равна 180°. Мы знаем, что сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому угол A также равен 180° - угол B - угол C. Чтобы найти значения тригонометрических функций угла A, нам понадобятся значения угла B. Мы можем использовать формулу синусов для нахождения синуса угла B, а затем использовать его для вычисления остальных функций угла A. Sin(B) = BC / AB = 8 / 6. Подставляем значение синуса угла B, решаем уравнение и вычисляем значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла A.

Демонстрация:
Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла A: sin(A) ≈ 0,667, cos(A) ≈ 0,745, tan(A) ≈ 0,895, cot(A) ≈ 1,118.

Совет:
Знание основных тригонометрических функций и соотношений между ними поможет легче решать подобные задачи.

Задание для закрепления:
5) В равнобокой трапеции ABCD, AB = 10 см, BC = 15 см и AD = 7 см. Найдите значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла D.

Задача 5:
Описание:
Мы можем использовать подобие треугольников, чтобы найти длину отрезка CD. Поскольку BD является высотой треугольника и делит сторону AC, то мы можем использовать отношение подобия треугольников. AB / CD = BC / BD. Вставляем известные значения и решаем уравнение для CD.

Демонстрация:
Длина отрезка CD: CD ≈ 8,82 см.

Совет:
Лучше всего в таких задачах использовать подобие треугольников и отношения между их сторонами, чтобы найти нужные значения.

Задание для закрепления:
6) В треугольнике XYZ прилежащий к углу X катет равен 5 см, гипотенуза равна 13 см. Найдите значение синуса угла Y и значение тангенса угла Z.

Задача 6:
Описание:
Диагональ трапеции делит ее на два треугольника. Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину диагонали. Сумма квадратов длины оснований равна квадрату диагонали. Таким образом, AB^2 + CD^2 = BD^2. Подставляем известные значения и решаем уравнение для BD.

Демонстрация:
Длина диагонали трапеции ABCD: AB + CD = 6 + 8 = 14 см.

Совет:
Не забывайте применять теоремы о треугольниках, такие как теорема Пифагора, для решения задач с треугольниками и геометрическими фигурами.

Задание для закрепления:
7) В прямоугольной трапеции PQRS угол P равен 90°, стороны PQ и RS равны 5 см и 10 см соответственно, и значение синуса угла Q равно 0,6. Найдите значение косинуса угла R и значение тангенса угла R.